0 1 2 0 0 1 350 6 356 353 3512 353 352 352 350 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=
C2C2C71422?1 35P {X=1, Y=1 }=
C3C2C2C71412?6 35P {X=1, Y=2 }=
C3C2C2C72421?6 35P {X=2, Y=0 }=
C3C2C7242?3 35P {X=2, Y=1 }=
C3C2C24C711?12 35P {X=2, Y=2 }=
C3C2C73422?3 35P {X=3, Y=0 }=
C3C2C7341?2 35P {X=3, Y=1 }=
C3C2C741?2 35P {X=3, Y=2 }=0
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?45.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}
（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=??f(x,y)dxdy?G??G?Dof(x,y)dxdy再化为累次积分，其中
Do?0?x?2,?????(x,y)?
2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?1 8（2）P(X?1,Y?3)??10dx?3213(6?x?y)dy? 88（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?4218(6?x?y)dy?2732
?20dx?4?x012 (6?x?y)dy?836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题）
X Y 0 1 边缘分布律为
X Pi2
0
56
0 25 365 361 5 361 362 x+y=4 1 o x 1
16
Y P2j
0
56
1
16
② 不放回抽样（第1题）
X Y 0 1
边缘分布为
X Pi2
0
56
0 45 6610 661 10 661 661
16
Y P2j
0
56
1
16
（2）（X，Y ）的联合分布律如下 X Y 0 3 0 0 1 81 3 82 3 83 0 1 8
0 2
0 3
解： X的边缘分布律
X 0
1
Y的边缘分布律 Y
1
3
Pi2
18
38
38
18 P2j
68
28
7.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为
??4.8y(2?x)f(x,y)????00?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度.
解：fX(x)???????x2?4.8y(2?x)dy?2.4x(2?x)f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它
fY(y)??????12???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y)f(x,y)dx??y??00?y?1其它
8.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?e?y,0?x?y?f(x,y)??求边缘概率密度。
?0,其它.?y x=y 解:fX(x)??????????y?xedy?e,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,? fY(y)????????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye0,?y,y?0,y?0,o
x ?cx2y,x2?y?1?9.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=??????????f(x,y)dxdy??10dy???yycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?32145212?12124??2xydy?x(1?x),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?y ???Y~fY(y)??????yy214dydx?02725y20?y?1其它y=x
o 2 x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}2P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=
25 365 36P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况：
P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=
10945 ??1211665 361 36105 ?126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
P {X=0}2P {Y=0} =
5525 ??66361092105 ????121111116P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
∴ X和Y不独立
16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的
?1y?e2,y?0概率密度为fY(y)??2
?0,y?0.?（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
解：（1）X的概率密度为fXY的概率密度为
?1?y?e2,y?0fY(y)??2且知X, Y相互独立，
?0,y?0.???1,x?(0,1) (x)????0,其它y 2 y=xD o 1 x 于是（X，Y）的联合密度为
?1?y?e2f(x,y)?fX(x)fY(y)??2?0?0?x?1,y?0其它2
（2）由于a有实跟根，从而判别式??4X?4Y?0
2 即：Y?X2 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}
1x2 P(Y?X)?2??Df(x,y)dxdy??0dx?120e?y2dy???dx?01x20de?y2?1??10e?x22dx
?1?2??12??00e?x22dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)
?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.144519.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为
?te?t,?f(t)????0t?0t?0
并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为
?te?t,?f(t)????0t?0t?0
Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：
?xe?xye?yf(x,y)??0?x?0,y?0其它
∵ z≥0
∴ 当z<0时，fz (z) = 0
当z>0时，由和的概率公式知
fz(z)??????z0??fx(z?y)fy(y)dy?(z?y)(z?y)e?ye?ydy?z3
e?z6∴
?z3?ze,?fz(z)??6?0?z?0z?0
?z3?ze,?（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为fz(z)??6?0?z?0z?0
设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：
?xe?x,?fξ(x)????0x?0x?0
z与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0，
∴当u<0，
fη(u) = 0