P：
1 5
1 6
11 51511 30再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 1
4
9
P：
1115 116?15 15 30 31.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=eX
的分布密度 ∵ X的分布密度为：f(x)???10?x?1?0x为其他
Y=g (X) =eX是单调增函数 又 X=h (Y)=lnY，反函数存在 且
α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1
??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e
?∴ Y的分布密度为：ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1?1y1?y?e
??0y为其他（2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数
Y又 X?h(Y)?e?2 反函数存在。
且
α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0
β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞
?1?yy21∴ Y的分布密度为：ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1??2e?2e?2??032.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 ∵ X的概率密度是f(x)?1e?x22,???x???
2π Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在
且
α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0
β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：
?(lny2ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1e?)2?10?y???
?2πy?0y为其他0?y???y为其他
（2）求Y=2X+1的概率密度。
在这里，Y=2X+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y），
2
则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X+1≤y) =P?????y?12?X?y?1?? 2??2
2
当y<1时：FY ( y)=0
?当y≥1时：Fy(y)?P????y?12y?1???2??y?12y?12?X???12πe?x22dx
故Y的分布密度ψ( y)是：
当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
y?1?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????1212?e?x22y?12??dx? ?? =e?y?142π(y?1)
（3）求Y=| X |的概率密度。
∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0
当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=?∴ Y的概率密度为：
当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
?当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =?????dx????y?y12πe?x22dx
?y?y12πe?x222eπ?y22
33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ∵ 又 且
Y=g (X )= X 3 是X单调增函数，
1X=h (Y ) =Y3，反函数存在，
α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞
β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：
12 ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| = f(y31?3)?y,???y???,但y?0 3?(0)?0
（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 的概率密度。
?e?x法一：∵ X的分布密度为：f(x)???0x?0x?02
y=x2 Y=x2是非单调函数
当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 当 x<0时 y=x? x?2 2
y y
y∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? －1??0?e? =?2y?0?y O x y ?21ye?y,y?0y?0
法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)
?? ?0?0??ye?xdx?0?1?e?y,,y?0y?0
??1e?∴ Y～ fY (y) =?2y?0?y,,y?0.y?0.
34.[三十一] 设X的概率密度为
?2x?f(x)??π2??00?x?πx为其他
求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0
当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =?当1 ?0 ?arcsiny2xπ20dx??π2xπ2π?arcsiny??dx? ? = π21?y2 1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0 36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。[已知θ?5(T?32)] 9法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)2?22,???t??? 又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为 (95θ?32?98.6)42ψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π910πe2???9 581(θ?37)1002 ?e,???θ??? 法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2） 2?5??333?5?2?5160160?5?故 θ?T?~N??98.6?,???2??N?,???2? 9999?9?9?9?????????故θ的概率密度为： ?333??????9??22?(?)?2?1592e?5?2????2?9??910?e?81(??37)1002,??????? 第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ??0,若第一次取出的是正品X????1,若第一次取出的是次品,? ??0,若第二次取出的是正品Y????1,若第二次取出的是次品,? 试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )= 或写成 X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }= 或写成 X Y 0 1 0 45 6610 66101025 ??1212361025 ??1212362105 ??121236221?? 1212360 25 365 361 5 361 3610945?? 12116610210?? 12116621010?? 121166211?? 1211661 10 661 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。 X 0 1 2 3 Y