（5）这批产品被接受的概率
解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，
由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.910≈0.349
22819（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C100.10.9?C100.10.9?0.581
（3）P {Y=0}=0.9 ≈0.590 （4）P {0 ({0 5 = P {0 12.[十三] 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二： 4?4P(X?8)?e?0.029770（直接计算） 8!8P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。 = 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。 P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算） [十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。 P{X?3}?P{X?4}?0.566530 [十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是 ?1?e?0.4x,FX(x)???0x?0 x?0求下述概率： （1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}； （4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟} 解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =FX(3)?1?e?1.2 （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =1?FX(4)?e?1.6 （3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3 ?0,x?1,?18.[十七] 设随机变量X的分布函数为FX(x)??lnx,1?x?e,， ??1,x?e.求（1）P (X<2), P {0 P(2?X?5555 ?FX()?FX(2)?ln?ln2?ln2224?1?,1?x?e,（2）f(x)?F'(x)??x ??0,其它20.[十八（2）]设随机变量X的概率密度f(x)为 ?2?（1）f(x)??????x?（2）f(x)??2?x??01?x02?1?x?1其它 0?x?11?x?2 其他求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当－1≤x≤1时： 2F(x)?0dx????1πX??1?x2?11?21?xdx?x1?x?arcsinx?π?2?2??1 2?1112x1?x?arcsinx?ππ220dx?当1 1x故分布函数为： ?0?1112F(x)??x1?x?arcsinx?ππ2??1x??1?1?x?1 1?x解：（2）F(x)?P(X?x)?当x?0时,F(x)??x??f(t)dt ?x??0dt?0当0?x?1时,当1?x?2时,当2?x时,xF(x)?0dt?tdt???02?0?x2F(x)??0??0dt??10tdt??x1x(2?t)dt?2x??122 F(x)??0??0dt??10tdt??21(2?t)dt??x20dt?1故分布函数为 ?0?x2??2F(x)??2x?2x??12???1x?00?x?1 1?x?22?x（2）中的f (x)与F (x)的图形如下 0 1 2 x 0 1 2 x f (x) F (x) 22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度： ?1000?f(x)??x2??0x?1000其它 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？ 解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为 P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?22)?33?150010001000x21?dx?1??1000(?)x?15001000??? 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,214??151P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()?C5?()?()?33??3?1?1?5?2352)，3?1?11243?232243 23.[二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为： ?1?x5?FX(x)??5e,x?0 ??0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。 解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为 P(X?10)????10fX1(x)dx?5?5??k????10e?x5dx??e?x5??10?e?2 因此Y~B(5,e?2).即P(Y?k)???e?2k(1?e?2)5?k,(k?1,2,3,4,5 P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?1?0.86775?2)?1?(1?5155)?1?(1?0.1353363)7.389 ?1?0.4833?0.5167.24.[二十二] 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2?4xK?K?2?0有实根的概率 ?1? ∵ K的分布密度为：f(K)??5?0??02 0?K?5其他 要方程有根，就是要K满足(4K)－4×4× (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴ P(K?2)????2f(x)dx?2 ?521dx?5???50dx?3 525.[二十三] 设X～N（3.2） （1）求P (2 P (2 ?β?μ??α?μ???φ?? ?σ??σ??5?3??2?3???φ??=φ(1)－φ(－0.5) ?2??2? =0.8413－0.3085=0.5328 P (－4 P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 ) =1???? ??2?3???2?3???????? 22?????? =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??3?3??=1－0.5=0.5 ?2?（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得 又 P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )= 1=0.5 2?C?3???0.5,查表可得2??C?3?0 ∴ C =3 22P (X≤C )=φ?26.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,12)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求 （1）P (X≤105)，P (100 x?110x?110)?0.05??()?0.95.1212故最小的X?129.74.x?110?1.645.?x?110?19.74?129.74.12 27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？ 设螺栓长度为X P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12) =1－P (10.05－0.12 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？ ∵ P (120＜X≤200)=???200?160??120?160??40??40????????????????0.80 σσ?????σ??σ?又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x) ∴ 上式变为?? 解出???40???40?????1??????0.80 σσ???????40?????0.9 σ???40??便得:σ?? 再查表，得 40?1.281σσ?40?31.25 1.28130.[二十七] 设随机变量X的分布律为： X：－2， P： 1， 5 －1， 0， 1， 3 11 30111， ， ， 6515求Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2：(－2)2 (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2