方法二：
我们可以假设这个页数是A 页 那么我们知道，
每个页码都有个位数则有A 个个位数，
每个页码除了1~9 ，其他都有十位数，则有A-9 个十位数 同理：有A~99 个百位数，有A-999 个千位数
则：A + ( A 一9 ) + ( A 一99 ) + ( A 一999 ) = 6869 4A 一1110 + 3 = 6869 4A=7976 ， A = 1994
4 ．将所有自然数，从1 开始一次写下去得到：12345678910111213? ? ，试确定第206788 个位置上出现的数字？
A . 3 B . 0 C . 7 D . 4
这个题目大家仔细思考一下，发现其实这206788 ，就是这本书使用的页码字数．根据上述公式通过对206788 的判断可以知道这个连续自然数最后一个数字应该是万位数． 则我们根据上述解法的第2 个解法来做 实际上跟书页数字个数一样的题目
A + ( A 一9 ）十（A 一99 ）十（A 一999 ）十（A 一9999 ) = 206788 5A 一（9 + 99 + 999 十9999 ) = 206788 A = 43578 余数是4
说明206788 位置上的数就是第43579 的第4 个数字 就是7 5 .一本300 页的书中含“l“的有多少页？
解析：关于含“1 ”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1 / 10 乘以2 ，再加上100 。是160 页
这个公式是有一定局限性的，只限于三位数．
6 一本书有4000 页，，问数字1 在这本书里出现了多少次？ 解析：我们看4000 分为千，百，十，个四个数字位置
千位是1 的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是0~9 共计10 个数字． 就是10 * 10 * 10 = 1000
百位是1 的情况，千位是（0 , 1 , 2 , 3 ) 4 个数字可以选择十位，个位还是0~9，10 个数字可以选择
即4*l0*10=400
十位和个位都跟百位一样分析。那么答案就是1000 + 400*3 = 2200
总结一下就能得出适合所有的规律：关于含“1 ”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1 / 10 乘以（数字位-1 )，再加上10 的（数字位数一l ）次方。
如三位数：总页数的1 / 10 乘以（3 一l ) + 1O 的（3 一1 ) 四位数：总页数的l / 10 乘以（4 一l ) + 10 的（4 一l ) 牢记公式，遇到相关题目直接套用。 ( 2 )
1 一本小说的页码，在印刷时必须用1989 个铅字，在这一本书的页码中数字1 出现多少次？ A . 240 B . 230 C . 220 D 210 解析：
方法1 ：页码为一位数共有9 页，用9 个铅字 页码为二位数共有90 页，用180 个铅字
余下的铅字有1989 一（9 + 180 ) = 1800 （个）
1800 /3 = 600 ，页码为3 位数的共有600 页，那么这本书共有9 + 90 + 600 =699 页
方法2 ：有的页码只有1 个数字，有的页码有2 个数字，有的页码有3 个数字，为了便于处理， 把l , 2 , 3 ,? ，9 分别记为001 , 002 , 003 ? 009 ；增加了18 个零
把10 , 11 , 12 ,? 98 记为010 , 011 , 012 ,? ，098 , 099 增加了90 个零。
这样处理后，所有的页码都有3 个铅字。一共增加了（18 + 90 ）个零。( 1989 + 18 + 90 ）/3 = 699 页。
2 ．一本小说的页码，在排版时必须用2211 个数码。问这本书共有多少页？ A773 B 774 C 775 D . 776
解析：有的页码只有1 个数字，有的页码只有2 个数字，有的页码只有3 个数字，为了便于处理。 把l , 2 , 3 ,? ，9 分别记为001 , 002 , 003 ? 009 ；增加了18 个零
把10 , 11 , 12 ,? 98 记为010 , 011 , 012 ,? ，098 , 099 增加了90 个零。
这样处理后，所有的页码都3 个铅字，一共增加了（18 十90 ）个零。( 2211+18 + 90 ）/3 =737 + 6 + 30 =773 （实战中不需要计算，只需要利用尾数的特点就能选A 。）
3 ．编一本书的书页，用了270 个数字（重复的也算，如页码115 用了2 个1 和1 个5 共3 个数字），问这本书一共有多少页？ A . 117 B . 126 C . 127 D . 189
解析：有的页码只有1 个数字，有的页码只有2 个数字，有的页码有3 个数字，为了便于处理，把l , 2 , 3 ,? ，9 分别记为001 , 002 , 003 ? 009 ；增加了18 个零
把10 , 11 , 12 , . ．? 99 分别记为0 10 , 011 , 012 , ．? 099 ；增加了90 个零
这样处理后，所有的页码都有3 个铅字，一共增加了（18 + 90 ）个零。( 270 + 18 + 90 ) / 3 = 126
16
4 ．一本书，其页数需要用6869 个数字，（比如，1003 看作是1 , 0 , O , 3 个数字）问这本书是多少页？
A . 1999 B . 9999 C 1994 D 1995
解析：为了便于计算，可以把所有的数字看作是4 位数字，不足4 位的添O 补足4 位， l , 2 , 3 , ? 9 记位0001 , 0002 , 0003 , ..0009 这样增加了3 * 9 = 27 个0 10 , 11 , 12 , ? 99 记为0010 , 0011 , 0012 ，..0099 增加了180 个0 100 , 101 ，? 199 记为0100 , 0101 ，? 0199 增加了900 个O ( 6869 + 27 + 180 + 900 ) / 4 = 1994 习题：
7 ．一本书的页码是连续的自然数1 , 2 , 3 , ?，将这些页码加起来的时候某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997 ，则这个被加了两次的页码是（) A 42 B 46 C 44 D . 48 解析：
从l 开始到n 的一个公差为1 的等差数列的求和：公式为Sn=n(a1+an)/2 这里a1=l , an=n ，则sn=n(1+n )/2 因为是中间多加了一项，所以sn 是最大数，应该小于所给和1997 ! 所以n 的最大数是62 , 此时总和是1953
所以是1997-1953=44 ，多加了个44 。 排列组合
基本知识点回顾：
1 、排列：从N 不同元素中，任取M 个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N 个不同元素中取出M 个元素的一个排列。
2 、组合：从N 个不同元素中取出M 个元素并成一组，叫做从N 个不同元素中取出M 个元素的一个组合（不考虑元素顺序）
3 、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1 步有ml 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同的方法?做第n 步有mn 种不同的方法。那么完成这件事共有N = m1*m2* ? *mn 种不同的方法。
4 、分类计数原理：完成一件事有n 类办法，在第一类办法中有ml 种不同的方法，在第二类办法中有m2 种不同的方法? ? 在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N = ml + m2 + ?+mn 种不同的方法。
解题技巧：首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下儿种常用的解题方法： 一、特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1 . 6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 元素分析法：
因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4 种站法；第二步再让其余的5 人站在其他5 个位置上，有120 种站法，故站法共有：480 （种） 二．相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2 、 5 个男生和3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
解：把3 个女生视为一个元素，与5 个男生进行排列，共有6 * 5 * 4 * 3 * 2 种，然后女生内部再进行排列，有6 种，所以排法共有：4320 （种）。 三．相离问题用插空法
元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入己排好的元素位置之间和两端的空中。
例3 . 7 人排成一排，甲、乙、丙3 人互不相邻有多少种排法？
解：先将其余4 人排成一排，有4 * 3 * 2 * 1 种，再往4 人之间及两端的5 个空位中让甲、乙、丙插入，有5 * 4 * 3 种，所以排法共有：1440 （种） 四．定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n 个元素进行全排列有 种，个元素的全排列有 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，则有 种排列方法。 例4 ．由数字O 、1 、2 、3 、4 、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
解：不考虑限制条件，组成的六位数有C(l,5)*P(5,5）种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：C(1,5 )*P(5,5)/2（个） 五．分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 例5 . 9 个人坐成三排，第一排2 人，第二排3 人，第三排4 人，则不同的坐法共有多少种？
17
解：9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有P( 9,9）种。 六．复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。
例6 ．四面体的顶点和各棱中点共有10 个点，取其中4 个不共面的点，则不同的取法共有（) A . 150 种B . 147 种C . 144 种D . 141 种
解：从10 个点中任取4 个点有C ( 4 , 10 ）种取法，其中4 点共面的情况有三类。第一类，取出的4 个点位于四面体的同一个面内，有4 * C ( 4 , 6 ）种；第二类，取任一条棱上的3 个点及该棱对棱的中点，这4 点共面，有6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4 个点共面，有3 种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：C ( 10 , 4 ) - 4 * c ( 6 , 4 ）一6 一3 = 141 种。 只l
七．排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。 例7 ．将4 名教师分派到3 所中学任教，每所中学至少1 名教师，则不同的分派方案共有多少种？ 解：可分两步进行：第一步先将4 名教师分为三组（1 , 1 , 2 ) , （么1 , l ) , ( 1 , 2 , l ) ，分成三组之后在排列共有：6 （种），第二步将这三组教师分派到3 种中学任教有p ( 3 , 3 ）种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：36 （种）。因此共有36 种方案。 八．隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例8 有10 个三好学生名额，分配到6 个班，每班至少1 个名额，共有多少种不同的分配方案？ 解：6 个班，可用5 个隔板，将10 个名额并排成一排，名额之间有9 个空，将5 个隔板插入9 个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：C ( 5 , 9 ）种 习题：
1 , 2 , 3 , 4 作成数字不同的三位数，试求其总和？但数字不重复。解析：
组成3 位数，我们以其中一个位置（百位，十位，个位）为研究对象就会发现当某个位置固定比如是1 ，那么其他的2 个位置上有多少种组合？这个大家都知道是剩下的3 个数字的全排列P32 ，我们研究的位置上每个数字都会出现P32 次。 所以每个位置上的数字之和就可以求出来了 个位是：P32 * ( l + 2 + 3 + 4 ）二60
十位是：P32 * ( l + 2 十3 + 4 ) * 10 = 600 百位是：P32 * ( l + 2 + 3 + 4 ) * 1 00 = 6000 所以总和是6660
2 将“PROBABILrrY \个字母排成一列，排列数有― 种，若保持P , R , o 次序，则排列数有种。 解析：
这个题目是直线全排列出现相同元素的问题， ( l ）我们首先把相同元素找出来，B 有2 个，I 有2 个我们先看作都是不同的11 个元素全排列这样就简单的多是Pll , 11 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可Pll / ( PZ , 2 * PZ , 2 ) = 9979200 。
( 2 ）第2 个小问题因要保持PRO 的顺序，就将PRO 视为相同元素（跟B , I 类似的性质），则其排列数有11 ! / ( 2 ! xZ ! x3 ! ) = 166320 种。
3 ．李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇共10 人围坐一圆桌聊天，试求下列各情形之排列数： ( l ）男女间隔而坐。 ( 2 ）主人夫妇相对而坐。 ( 3 ）每对夫妇相对而坐。 ( 4 ）男女间隔且夫妇相邻。 ( 5 ）夫妇相邻。
( 6 ）男的坐在一起，女的坐在一起。 解析：
( l ）先简单介绍一下环形排列的特征，环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物．第一个坐下来的人是没有参照物的，所以无论做哪个位置都是一样的所以从这里我们就可以看出环形排列的特征是第一个人是做参照物，不参与排列． 下面就来解答6 个小问题： ( 1 ）先让5 个男的或5 个女的先坐下来全排列应该是P44 ，空出来的位置他们的妻子（丈夫），妻子（丈夫）的全排列这个时候有了参照物所以排列是P55 答案就是P44 * P55 = 2880 种
( 2 ）先让主人夫妇找一组相对座位入座其排列就是Pil （记住不是P22 ) ，这个时候其他8 个人再入座，就是P88 ，所以此题答案是P88
( 3 ）每对夫妇相对而坐，就是捆绑的问题．5 组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入座的夫妇的乘」下的4 组位置就是P44 ，考虑到剩下来的4 组位置夫妇可以互换位置即P44 * 2 呵二384
18
( 4 ）夫妇相邻，且间隔而坐我们先将每对夫妇捆绑那么就是5 个元素做环形全排列即P44 这里在从性别上区分男女看作2 个元素可以互换位置即答案是P 科＊2 科8 种（值得注意的是，这里不是＊2 呵因为要互换位置，必须5 对夫妇都得换要不然就不能保持男女间隔） ( 5 ）夫妇相邻这个问题显然比第4 个问题简单多了，即看作捆绑答案就是P44 但是这里却是每对夫妇呼唤位置都可以算一种方法的即最后答案是P44 * 2 八5 ( 6 ）先从大方向上确定男女分开座，那么我们可以通过性别确定为2 个元素做环形全排列．即Pl , 1 ，剩下的5 个男生私15 个女生单独做直线全排列所以答案是PI , l * P55 * P55 4 ．三边长均为整数，且最大边长为n 的三角形的个数为（) ( A ) 25 个尹）26 个（C ) 36 个（p ) 37 个 解析：
根据三角形边的原理，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是H ，则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为n 时是两边之和最大的时候。 因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11 ，则另外一个边的长度是11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 ，。。。。。。l RS 如果为10 则另外一个边的长度是10 , 9 , 8 。。。‘。。2 , （不能为1 否则两者之和会小于n , 10 的组合） 如果为9 ，则另外一个边的长度是9 , 不能为11 ，因为第一种情况包含了n , 一
（理由同上，可见规律出现）
规律出现总数是11 + 9 + 7 ＋。。。。l = ( l + 11 ）又6 令2 = 36 5 ．将4 封信投入3 个邮筒，有多少种不同的投法？ 解析：
每封信都有3 个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1 封信，有3 种可能性。接着再放第2 封，也有3 种可能性，直到第4 封，所以分步属于乘法原则即3x3x3x3 = 3A4 。 6 . 3 位旅客，到4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ 解析：
跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4 种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4 种，再安排第2 个旅客是4 种选择。知道最后一个旅客也是4 种可能。根据分步原则属于乘法关系即4X4X4 二4 勺
7 . 8 本不同的书，任选3 本粥宕3 个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 角军析：分步来做
第一步：我们先选出3 本书即多少种可能性CS 取3 = 56 种 第二步：分配给3 个同学。P33 = 6 种
这里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3 种书选择，选择完成后，第2 个同学就只剩下2 种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3 xZxl 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是1 , 2 , 3 , 4 四个数字可以组成多少4 位数？也是满足这样的分步原则。用P 来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。所以该题结果是56 又6 = 336 8 .
( 1 ）七个同学排成一横排照相，某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ 解析：
这个题目我们分2 步完成
第一步：先给甲排应该排在中间的5 个位置中的一个即CS 取1 = 5 第二步：乘U 下的6 个人即满足P 原则P66 二720 所以总数是72OX5 = 3600
( 2 ）墓乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？解析 第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一CZ 取1 = 2
第二步：剩下的6 个人满足P 原则P66 一720 则总数是720 又2 = 1440
( 3 ）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？解析特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况 去除3 个位置剩下4 个位置供甲选择C4 取l 二4 ，剩下6 个位置先安中间位置即除了甲乙2 人，其他5 人都可以即以5 开始，剩下的5 个位置满足P 原则即5 义P55 = 5 只120 = 600 总数是4 又600 = 2400
第2 种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置 则剩下的6 个位置满足P66 二720
因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即2400 + 720 = 3 120 ( 4 ）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ 解析：
相邻用捆绑原则2 人变一人，7 个位置变成6 个位置，即分步讨论第1 ：选位置C6 取1 二6 第2 ：选出来的2 个位置对甲乙在排即P22 = 2 则安排甲乙符合情况的种数是2 x6 二12 剩下的5 个人即满足P55 的规律二120 则最后结果是120X12 = 1440
19
( 5 ）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？ 解析
我们发现一共是7 个位置。位置也是对称的，无论怎么安排。甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。所以我们不考虑左右问题则总数是 P77 = 5040
根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是5040 二2 = 2520 9 ．用数字0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组成没有重复数字的数 ( l ）能组成多少个四位数？
解析：四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0 则只有5 种可能性接下来3 个位置满足P53 原则＝5 x4x3 = 60 即总数是60x5 = 300 ( 2 ）能组成多少个自然数？ 解析：
自然数是从个位数开始所有情况 分情况
1 位数：C6 取1 二6
2 位数：CS 取2xP22 + CS 取lxPll = 25 3 位数：CS 取3xP33 + CS 取2xP22x2 = 100 4 位数：CS 取4xP44 + CS 取3xP33 又3 = 300 5 位数：CS 取5XP55 + CS 取4xP44x4 = 600 6 位数：5xP55 = 5x120 = 600 89
总数是1631
这里解释一下计算方式比女［l 说2 位数：cs 取2 又P22 + cs 取1 X Pll = 25 先从不是O 的5 个数字中取2 个排列即CS 取2XP22 还有一种情况是从不是。的5 个数字中选一个和。搭配成2 位数即CS 取1 xPll 因为O 不能作为最高位所以最高位只有1 种可能 ( 3 ）能组成多少个六位奇数？ 解析：
高位不能为0 个位为奇数1 , 3 , 5 则先考虑低位，再考虑高位即3x4 又P44 = 1 2 X 24 = 288 ( 4 ）能组成多少个能被25 整除的四位数？解析：能被25 整除的4 位数有2 种可能后2 位是25 : 3 x3 = 9
后2 位是50 : P42 = 4 又3 = 12 共计9 + 12 = 21
( 5 ）能组成多少个比201345 大的数？ 解析： 从数字20 1345 这个6 位数看是最高位为2 的最小6 位数所以我们看最高位大于等于2 的6 位数是多少？
4xP55 = 4x120 = 480 去掉201345 这个数即比201345 大的有480 一1 = 479 90 ( 6 ）求所有组成三位数的总和． 解析：
每个位置都来分析一下
百位上的和：MI = looXP52 ( 5 + 4 + 3 + 2 + l ) 十位上的和：MZ = 4X4X 10 ( 5 + 4 + 3 + 2 + l ) 个位上的和：M3 = 4X4 ( 5 + 4 + 3 + 2 + 1 ) 总和M 二MI + MZ + M3 = 32640 10 ．生产某种产品100 件，其中有2 件是次品，现在抽取5 件进行检查．( l 、“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ 解析：
也就是说被抽查的5 件中有3 件合格的，即是从98 件合格的取出来的所以即CZ 取2xC98 取3 一152096
( 2 ) “其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ 解析：
同上述分析，先从2 件次品中挑1 个次品，再从98 件合格的产品中挑4 个CZ 取lxC98 取4 = 7224560
( 3 ) “其中没有次品”的抽法有多少种？ 解析：
则即在98 个合格的中抽取5 个C98 取5 一67910864 ( 4 ) “其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ 解析：
全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1 种的C 100 取5 一C98 取5 = 7376656 ( 5 ) “其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ 解析：
所有的排列情况中去掉有2 件次品的情况即是至多一件次品情况的C 100 取5 一C98 取3 = 75135424
11 ．从4 台甲型和5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1 台，则不同的取法共有（) ( A ) 140 种（B ) 84 种（C ) 70 种（D ) 35 种解析： 根据条件我们可以分2 种情况 第一种情况：2 台甲＋1 台乙即C4 取ZxCS 取1 二6x5 = 30 第二种情况：l 台甲＋2 台乙即C4 取lxCS 取2 = 4xlo = 40 所以总数是30 + 40 二70 种
20