a 干b 十。＋? ＋? 十i 十j + k = 1000 一X
甲到第一个小组去，他们一共10 人，他们所有的钱不会超过190 元。a + X 毛190 ( l ) 甲如果到第二小组去。他们一共10 人，他们所有的钱不会超过190 元。b 十X 毛190 ( 2 ) 甲如果到第11 小组去。他们一共10 人，他们所有的钱不会超过190 元。k + X 毛190 ( 11 ) 所有式子相加得：
a + b + c ＋? ＋j + k + 1 IX 毛190X 11 1000 一X + llX 毛190Xll X 毛109
如果思维比较清楚，可以很快得出最后的不等式来。
63 ．一艘匀速航行的轮船从上海到重庆要7 昼夜，从重庆到上海要5 昼夜。一木筏由重庆顺流漂到上海需要（）天（假设途中没有任何干扰）。A . 70 B . 60C . 35 D . 40 （答案）C
（解析）假设：船的速度为a ，水流的速度为b 。 7 ( a 一b ）二5 ( a + b ) a = 6b
5 ( a + b ）七二35
64 ．一家三口人，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得47 、61 、60 。那么这三人中年龄最大的比最小的大（）岁。 A . 28 B . 25 C . 30 D . 35 （答案）A
‘解析）最快的方法：( 61 一47 ) xZ 一28 因此，答案为A
假设三人的年龄分别是a , b ，。。 ( a ＋砂
2 + c = 47 ( l ) 伪十c )
2 ＋尽＝60 ( 2 ) ( c + a )
2 + b = 61 ( 3 ) 乡一c
( 3 ）一（1 ）得：2 = 14 b 一c = 28 。 65 . 2 辆大车和3 辆小车一次可以运货物15 . 5 吨，5 辆大车和6 辆小车一次可以运35 吨，3 辆大车和5 辆小车运98 吨货物需要运（）次。A . 5 B . 4 C . 6 D . 3 （答案）B
（解析）假设每辆大车一次运x 吨，小车一次运y 吨。 Zx + 3y = 15 . 5 sx + 6y 二35
x = 4 , y = 2 . 5
3 辆大车和5 辆小车一次运4 x3 + 2 . 5x5 = 24 . 5 吨 98
24 石＝4
如果掌握点运算技巧。可以简化计算： Zx + 3y = 15 . 5 ( l ) sx + 6y = 35 ( 2 ) ( l ) x7 一（2 ) ，得： gX + 15y = 73 . 5 3X + SY = 24 . 5 98
24 . 5 = 4
66 一本书一共186 页，那么1 , 3 , 5 , 7 , 9 在页码中一共出现的次数是（尹）A . 225 B . 264 C . 269 D . 270 （答案）D
（解析）在页码中，个位数上，奇数和偶数出现的概率是一样。因此186 l , 3 , 5 , 7 , 9 在个位上出现了2 = 93 次。 页码中，十位数为奇数的次数一共是90 次。 百位上1 出现了87 次。
因此，93 + 90 + 87 = 270 。
67 ．如果按原价买2 个书包5 支钢笔和4 本书需要80 元。如果书包五折，l
钢笔二五折，书按照原价的3 出售。买一个书包，一支钢笔和一本书只需要12 元，小名按原价买了一个书包，一支钢笔和一本书供需要（）元钱A . 26 B . 27 C . 28 D . 29 （答案）C
（解析）假设书包，钢笔和书的单价分别是X , Y , W 。 ZX 十SY + 4W 二80 ( 1 )
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了了孑
2 + 4 + 3 = 12 ( 2 ) ( l ) + ( 2 ）义12 得 SX 十SY + SW = 80 + 144 X 十Y + W = 10 + 18 = 28
68 ．一元钱买4 分，8 分和l 角的邮票．共18 枚，每种至少一张，一共有( ）种买法。 A . 9 B . 8 C . 4 D . 2 （答案）D
懈析）假设这三种面值的数目分别是x , Y , w 。 X + Y + W = 18 ( l )
4X + SY + 10W = 100 ( 2 ) ( l ) x 10 一（2 ）得： 3X + Y = 40
Y = l , X = 13 , W = 4 : Y = 4 , X = 12 , W 二2 。
Y , 7 , X = 11 , W = 0 （不符合要求，舍去） 因此，一共有2 种买法。
69 ．甲对乙说：“你给我100 元，我的钱就比你多一倍。”乙回答说：“你给我10 元钱，我的钱比你多5 倍。”乙比甲多（）元。 A . 120 B . 130 C . 110 D . 150 （答案）B
（解析）常规方法：
假设甲乙两人的钱分别是X 和Y 。 X + 100 = 2 ( Y 一100 ) Y + 10 = 6 ( X 一10 ) X = 40 , Y 二170
因此，答案为1 70 一40 = 130 。
题目看起来很简单，但是解答完毕，需要的时间远远超过1 分钟。实际考试中，如果每道题目多消耗50 ％的时间，那就意味着考试的结果将很不理想了。
非常规方法：根据条件“你给我100 元，我的钱就比你多一倍。”可以知道：两人钱的总数应该是3 的倍数。
根据条件“你给我10 元钱，我的钱比你多5 倍。”可以知道两人钱的总数应该是7 的倍数。 可以猜测，钱的总数是210 元。甲给了乙10 元后，有30 元。甲原来有 40 元。乙有170 元。这样可以很快得出答案。
可见，熟练运用比例关系，可以大大加快解决问题的速度。l
70 ．一次数学考试，甲答错了总数的4 ，乙错了5 题。两人都错的占题目总ll
数的6 。两人都对的题目超过题目总数的2 。两人都答对的有（）题。A . 17 B . 16 C . 18 D . 19
（答案）A
l （解析）首先，要迅速确定题目的总数。根据条件“甲答错了总数的4 \和“两人都错的占题目总数的6 ”可以知道题目总数应该是12 的倍数。那么，可能是12 , 24 , 36 , ll
如果是12 道题目，两人一共做错了12 X4 + 5 一12X6 = 6 道，那么两人．共做对了6 道题目。这与题目条件“两人都对的题目超过题目总数的l / 2 ”矛盾。 l
如果题目总数是36 ，那么两人都错的题目有36 X6 一6 。这与“乙错了5 题”矛盾。显然，题目总数是24 。 ll
两人一共答错了题目：24x4 + 5 一24x6 = 7 。 两人都答对的有24 一7 = 17 。
71 ．有长度分别是l , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 （单位：厘米）的小木棍各一根，从中选出若干根拼成正方形（木棍不可以折断），有（）种拼法。 A . 8 B . 7 C . 6 D . 9 （答案）D
（解析）显然，正方形的边长应该是7 , 8 , 9 , 10 , n 厘米。( l + 2 + 3 ＋? ＋8 + 9 ) / 4 二H . 25 厘米
因此，正方形最大边长只能是n 厘米。
11 = 2 + 9 = 3 + 8 二4 + 7 = 5 十6 ，所以，正方形的边长为n 厘米时，只有1 种可能； 10 = 9 + 1 二8 + 2 = 7 + 3 = 6 十4 ，所以，正方形的边长为10 厘米时，只有1 种可能； 9 = 8 + 1 二7 + 2 = 6 + 3 = 5 + 4 ，所以，正方形的边长为9 厘米时，只有5 种可能； 8 二7 + 1 二6 + 2 = 5 + 3 ，所以，正方形的边长为8 厘米时，只有1 种可能； 7 = 6 十1 = 5 十2 = 4 十3 ，所以，正方形的边长为7 厘米时，只有l 种可能； 因此，组成正方形一共有9 种可能。
木棍围图形是比较流行的题目，关注一下。
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72 ．用3 个2 , 2 个1 可以组成（）个不同的5 位数。 A . 20 B . 12 C . 8 D . 10 （答案）D
（解析）其实，这个题目可以改写为：
3 个完全相同的白球和2 个完全相同的黑球，排成一排，一共有多少种 不同的排法？两个问题的实质是一样的。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 第一步：
任选三个位置把3 个白球放好，一共有10 种方法。 第二步：
把2 个黑球放在剩下的两个位置。只有1 种方法。 根据乘法原理，一共有10 xl = 10 种方法。
从上面的分析过程可以看出，一共可以组成功个不同的5 位数。记住一些固定的数学模型，对我们很有帮助的。 73 . 5 名选手参加一次数学竞赛总分是404 分，每人得分互不相等。最高分是90 分，小名是所有选手中分数最低的。小名的得分至少（）分。A . 50 B . 60 C . 77 D . 80 （答案）A
（解析）显然，根据题目条件，小名得分最低，也就是说其他选手得分较高。 90 + 89 + 88 十87 = 354 404 一354 = 50
74 ．某市规定，用水不超过10 度，按照每度0 . 45 元收费；超过10 度时，超过部分按照每度0 . 80 元收费。张家比李家多交了水费3 . 30 元。张家交了水费（）元。 A . 6 . 80 B . 6 . 60 C . 6 D . 6 . 90 （答案）D
（解析）为了方便计算，人民币的单位统一用分为单位。 330
45 = 7 ? ? 15 330
80 二4 ．· · ? 10
这说明张家用水超标，李家用水没有超标。为什么这么说呢？因为，如果两家都没有超标，那么张家多交的水费应该是45 的整数倍。如果两家都超标，那么张家多交的水费应该是80 的整数倍。330 = 90 十240 二45 又2 + SOX3 因此知道，张家超标3 度。
一共交了水费0 . 45xl0 + 0 . 80x3 = 6 . 9 元。
整除技巧的运用特别重要。如果用常规方法解决这个题目，工作量相当大，没有3 分钟是解决不了的。常规方法建议大家去做一下，通过对比，体会一下非常规方法的重要。 75 . 51 名同学投票选举班长，已经统计的40 票的结果是：甲18 票，乙12 票，丙10 票。最后，甲做了班长。甲至少得了（）票。 A . 20 B . 21 C . 22 D . 23 （答案）B （解析）根据条件，剩余的票数有n 票。这n 票的分布，决定谁做班长。甲要是得了n 票中的3 票，甲就是班长了。
因为这样的话，甲有21 票，剩余的8 票无论乙还是丙，他们的票数都不会超过20 票。 通过以上分析可以知道，甲最少获得了21 票。 其实关于投票问题的思路是这样的：
乙对甲的威胁最大，最后n 票投给乙越多，乙对甲的威胁就越大。甲、乙相差6 票，假设11 票中的6 票全部投给了乙，这样两人的票数就相等了。那么，还剩余5 票，只要甲得了其中的3 票，甲就是班长。76 ．某产品由A , B , C 三个部件组成，一个工人每天可以生产5 个A , 或者3 个B ，或者6 个C 。该厂共有210 名工人，一天最多可以生产（) 个产品。 A . 300 B . 270 C . 240 D . 330 （答案）A
（解析）一个工人每天可以生产5 个A ，或者3 个B ，或者6 个c 。我们求出5 , 3 , 6 的最小公倍数是30 。
5X6 = 30 , 3X10 = 30 , 6X5 = 30
也就是说要安排6 个工人生产A ，安排10 个工人生产B ，安排5 个工人生产C 。
这样安排，21 名工人一天可以生产30 个；该工厂有210 名工人，如果按照这个比例来安排，一天可以生产产品300 个。
这种问题其实和我们经常碰到的喝汽水的问题有点相似。我们可以统一用钱为标准来解决这个问题。 假设A 的单价是6 元，5 个A 的价值就是30 元；这样，一个工人一天劳动创造的价值就是30 元；根据这个假设可以得出：B 的单价是10 元，C 的单价是6 元。一个产品的价值是6 + 10 + 5 二21 元。210 名工人一天劳30x210
动创造的总价值是30 xZ10 ，相当于21 = 300 件产品的价值。这样的149 思维可以简化很多复杂的问题。
77 ．某个体户承接了一项运输业务，运输1200 块玻璃砖。合同规定：每块玻璃砖运费2 元。如果
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运输中每损坏一块，不但得不到相应的运费，还要赔偿25 元。业务完成后，该个体户得到2076 元。运输过程中，损坏（) 块。 A . 22 B . 32 C . 12 D . 2 （答案）C
（解析）如果一块也没有损坏的话，该个体户应该收获：1200x2 = 2400 兀。 现在，该个体户少收入了：2400 一2076 一324 元。 每损坏一块玻璃砖，个体户少收入2 + 25 = 27 元 324
27 = 12
这种方法就是整体思维方法。 常规的思路是：假设坏了X 块。 ( 1200 一X ) XZ 一25X = 2076
78 ．某工程队有6 项工程需要单独完成，而且工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行。安排这6 项工程一共有（）种不同的安排方法。A . 1 5 B . 20 C . 30 D . 48 （答案）C
（解析）这个问题一定要选择好分析问题的角度，否则会把问题搞得相当复杂。
甲、乙、丙、丁的先后顺序是固定的。假设有6 个位置选择4 个位置把甲、乙、丙、丁安排好。这样有心＝巧种安排方法。剩下两项工程有2 种排法。根据乘法原理，2 心二30 种，因止嗒案为c 。 79 ．有5 名实习老师被派到某高中的三个班级，要求每个班至少有一名，最多不能超过2 名老师，一共有（）种不同的安排方法。A . 24 B . 60 C . 90 D . 180 （答案）C 。
（解析）不少人选择了答案D 。说明这个题目是有点迷惑性的。5 名老师，分成三组一共有15 种方法（见注释）。 15X6 = 90
注释：5 个人分成三组。先选一个人出来，有5 种方法。剩下4 个人，平均分成两组，共有3 种方法。5 X3 二15
6 表示把三组老师分到三个不同的班级的分法，3 ! = 6 。
80 ．小明给住在5 个国家的5 位朋友分别写一封信，这些信都装错了信封的情况共有（）种。 A . 32 B . 44 C . 64 D . 120 （答案）B
（解析）这个题目的难度相当大，不过值得大家好好分析。为了讨论清楚这个题目，有必要先做几道稍微简单的题目。 ( l ）小明给住在1 个国家的1 位朋友写一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？答案是O 。不可能错的。
( 2 ）小明给住在2 个国家的2 位朋友分别写一封信，这些信都装错了
信封的情况共有多少种？答案是1 。AB 表示人，ab 表示给AB 的信。Aa , Bb 如果这样，表示信寄对了。如果是Ab , Ba 表示信寄错了。( 3 ）小明给住在3 个国家的3 位朋友分别写一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？答案是2 种。AbBcCa 或者Ac , Ba , Cb 。( 4 ）小明给住在4 个国家的4 位朋友分别写一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？答案是9 种。大家可以直接去排一下。这里给出一个算法： 4 封信中－共有24 种装法。
4 封信中4 对0 错，情况是1 种。 4 封信中3 对l 错的情况是0 种。
4 封信中2 对2 错的情况是6 种，就是从4 封信中取2 封信（6 种方法）, 2 封信都装错（1 种方法）。
根据乘法原理：6xl 二6
4 纠言中有1 对3 错的情况是8 种，就是从4 封信中取3 封信（4 种方法）, 3 封信都装错（2 种方法）。
根据乘法原理，4 又2 二8
4 封信都装错的情况是24 一1 一6 一8 = 9 5 封信一共有5 ! = 120 种装法。 5 封信都装刘的方法是1 种。
5 封信中5 对0 错，情况是1 种。 5 封信中4 对1 错的情况是0 种。
5 封信中3 对2 错的情况是10 种，就是从5 封信中取3 封信（10 种方1 52 法）, 2 封信都装错（1 种方法）。 根据乘法原理：10XI = 10
5 封信中有2 对3 错的情况是20 种，就是从5 封信中取2 封信（10 种方法）, 3 封信都装错（2 种方法）。
根据乘法原理，10XZ = 20
5 封信中有1 对4 错的情况是45 种，就是从5 封信中取1 封信（5 种方法）, 4 封信都装错（9 种方法）。
根据乘法原理，5 又9 二45
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5 封信都装错的情况是120 一l 一10 一20 一45 = 44
可见，这个题目相当复杂。不过，如果考生真用心把这个问题弄清楚了，那么遇到排列组合的任何问题都不会害怕了。强烈建议大家把解决这个问题的方法和模型仔细研究一下。 81 ．三个人需要渡河，只有一条小木船（没有船夫），船载重不能超过90 公斤。每次渡河需要3 分钟的时间，往返一趟需要6 分钟。三个人体重分别是60 公斤，50 公斤，40 公斤。以下说法正确的是（）。
A ．无论如何安排，60 公斤的那个人无法渡河 B ．都可以渡河，最少需要时间巧分钟 C ．都可以渡河，最少需要时间20 分钟 D ．可以渡河，而且只有唯一的安排方法 （答案）B
（解析）数学运算题目本身考查的不一定是计算本身，更高层次考查的
是我们分析问题和解决问题的能力。很多问题，我们只要分析清楚了，就可以直接得出答案来。真的需要我们动笔计算的题目其实不多。40 和50 公斤的人先过去。一人下船，留在对岸。一人把船划回原地。60 公斤的人划到对岸，让对岸的瘦子把船划回原地。最后两个瘦子一起划船到对岸。 通过上面分析发现，B 正确。
82 ．从甲地租用汽车运货物62 吨到乙地，己知大货车每次可以运10 吨，费用200 元；小货车每次可以运4 吨，费用95 元。运费最少是（）元口A . 1360 B . 1285 C . 1275 D . 1245 （答案）B
（解析）这个题目很有意思。使用大车是比较经济，但是大车数目不能太多。原因是大车太多，导致最后小车只装了很少的货物，结果费用反而不是最省。因此，要合理地安排大车，保证所有的车辆都基本满载。在这样的安排下，费用是最省的。5 辆大车，3 辆小车的情况下费用是最省的。10XS 十4X3 = 62
200 XS 十95 X3 = 1285
其他情况下，比如3 辆大车，8 辆小车也可以运完全部货物，并且都是满载。 10X3 + 4X8 = 62
200 X3 + 95 XS = 1360 元
有几道类似的题目放在这里，大家比较研究一下：
（例题）一个旅游团共有287 人，现在需要租车到某地游览。54 座的大
巴每辆432 元；24 座的中巴每辆204 元。要使每个旅客都有座位而且最省钱，应该租大巴（）辆。 A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 （答案）B 432
（解析）54 = s 204
24 = 8 , 5
这说明按照人头来算，大巴比较便宜。因此，要尽可能多租大巴。同时，空位要尽可能少。 以上两个因素是需要考虑的。
8 和8 . 5 相差不大，因此我们需要考虑主要因素是车上空位尽可能地少。54X4 + 24X3 = 288 和287 相差不多，只有l 个空位。因此答案选B 。其他情况大家可以自己比较一下，这个题目值得大家好好研究。通过比较发现，处理这类问题的原则是：首先要保证每辆车尽可能满载，最小费用一定是在满载或者基本满载的情况下取得的。其次，在满载或者基本满载的前提下要尽可能地使用大车。通过对这两个问题的比较和深入研究，相信大家能够迅速的找到解决同类型问题的切入点。还有一个公务员考试题目，也放在这里供大家比较研究一下。比较研究也是一种很科学的训练方法。大家在平时训练中可以尝试一下比较研究同类型的题目，这样能更深入把握这类问题的本质，做到举一反三，收到事半功倍的成效。（例题）某服装厂有甲乙丙丁四个生产组，甲每天生产8 件卜衣或10 条裤子，乙每天生产9 件上衣或12 条裤子，丙每天生产7 件上衣或n 条裤子， 丁每天生产6 件上衣或7 条裤子，现在要配套生产，7 天内四组最多可生产多少套衣服？ A . 1 1 5 B . 1 1 8 C . 120 D . 125 （答案）D
懈析）常规的思维方法是这样的：由于丙每天生产7 件上衣，丁每天生产7 条裤子，所以他们生产的刚好配套，丙每天生产n 条裤子＞丁每天生产7 条裤子，这样的话让丙7 天全生产裤子，丁7 天全生产上衣，不够的上衣让甲或乙来补充，这样生产出来的衣服会最多。 设7 天内4 个组最多可生产W 套衣服，甲组生产上衣x 天，生产裤子( 7 一x ）天，乙组生产仁衣y 天，生产裤子（7 一y ）天。则四组7 天共生产上衣6 X7 + sx + 9y 件，生产裤子11X7 + 10 ( 7 一x ) + 12 ( 7 一y ）件。所以6X7 + sx + gy = llX7 + 10 ( 7 一x ) + 12 ( 7 一y ) 即6x + 7y = 63 2X
则w = 6X7 + sx + gy = 123 + 7
因为0 簇x 簇7 ，所以当x = 7 时，w 最大值为1 25 。
因此，安排甲，丁两组生产上衣7 天，丙组生产裤子7 天，乙组生产上衣3 天，裤子4 天时，四组一周最多可以生产125 套衣服。
可以肯定地说，按照常规方法解答这个题目需要10 分钟左右。非常规的方法：通过阅读题目可以发现，生产上衣是关键。
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