x2x(k≥0). 2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间.
1?1?2x 解：（I）当k?2时，f(x)?ln(1?x)?x?x2，f'(x)?1?x3由于f(1)?ln2，f'(1)?，
23所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?ln2?(x?1)
2 即3x?2y?2ln2?3?0
x(kx?k?1)（II）f'(x)?，x?(?1,??).
1?xx. 当k?0时，f'(x)??1?x所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0. 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??).
x(kx?k?1)1?k?0，得x1?0，x2??0 当0?k?1时，由f'(x)?1?xk1?k1?k,??)上，f'(x)?0；在区间(0,)上，f'(x)?0 所以，在区间(?1,0)和(kk1?k1?k,??)，单调递减区间是(0,). 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(kkx2 故f(x)得单调递增区间是(?1,??). 当k?1时，f'(x)?1?xx(kx?k?1)1?k?0，得x1??(?1,0)，x2?0. 当k?1时，f'(x)?1?xk1?k1?k)和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(,0)上，f'(x)?0 所以没在区间(?1,kk1?k1?k)和(0,??)，单调递减区间是(,0) 故f(x)得单调递增区间是(?1,kk已知函数f(x)=ln(1+x)-x+
7. （2010山东文21，单调性）
1?a?1(a?R) x ⑴当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
1 ⑵当a?时，讨论f(x)的单调性.
2解：⑴x?y?ln2?0
已知函数f(x)?lnx?ax? 6
1?a?1， x1a?1ax2?x?1?a 所以 f'(x)??a?2??，x?(0,??)， 2xxx2 令 g(x)?ax?x?1?a,x?(0,??),
⑵因为 f(x)?lnx?ax?
8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零
点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数f(x)?lnx,g(x)?ex. ⑴若函数φ (x) = f (x)－
x+1，求函数φ (x)的单调区间； x-1⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．
x?112x?1x?1?lnx?解：（Ⅰ） ?(x)?f?x??，???x???． ?x?1x?1x?x?1?2x??x?1?2∵x?0且x?1，∴???x??0∴函数?(x)的单调递增区间为?0,1?和?1，???． （Ⅱ）∵f?(x)?11 ，∴f?(x0)?，
x0x2∴ 切线l的方程为y?lnx0?11(x?x0), 即y?x?lnx0?1, ① x0x0x设直线l与曲线y?g(x)相切于点(x1,e1)，
11?lnx，∴x1??lnx0,∴g(x1)?e0?. x0x0lnx01111 ∴直线l也为y???x?lnx0?， 即y?x??， ②
x0x0x0x0x0lnx01x?1 由①②得 lnx0?1??，∴lnx0?0．
x0?1x0x0∵g?(x)?ex，∴e1?x 下证：在区间（1,+?）上x0存在且唯一. 由（Ⅰ）可知，?(x)?lnx?x?1（1,+?）在区间上递增．
x?17
e?1?2e2?1e2?322又?(e)?lne???0，?(e)?lne?2??0，
e?1e?1e?1e2?1结合零点存在性定理，说明方程?(x)?0必在区间(e,e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0，故结论成立．
9. （最值应用，转换变量）
2ax2?1设函数f(x)?(2?a)lnx?(a?0)．
x(1)讨论函数f(x)在定义域内的单调性；
(2)当a?(?3,?2)时，任意x1,x2?[1,3]，(m?ln3)a?2ln3?|f(x1)?f(x2)|恒成立，求实数m的取值范围．
2?a12ax2?(2?a)x?1(ax?1)(2x?1)?2a?2??解：⑴f?(x)?． 22xxxx111111当a??2时，??，增区间为(?,)，减区间为(0,?)，(,??)．
a2a2a211当a??2时，??，减区间为(0,??)．
a2111111当?2?a?0时，??，增区间为(,?)，减区间为(0,)，(?,??)．
a22a2a⑵由⑴知，当a?(?3,?2)时，f(x)在[1,3]上单调递减，
1∴x1,x2?[1,3]，|f(x1)?f(x2)|≤f(1)?f(3)?(1?2a)?[(2?a)ln3??6a]，
32即|f(x1)?f(x2)|≤?4a?(a?2)ln3．
3∵(m?ln3)a?2ln3?|f(x1)?f(x2)|恒成立，
22∴(m?ln3)a?2ln3＞?4a?(a?2)ln3，即ma??4a，
332?4． 又a?0，∴m?3a1323813??4??，∴m≤?． ∵a?(?3,?2)，∴?33a9310. （最值应用）
已知二次函数g(x)对?x?R都满足g(x?1)?g(1?x)?x2?2x?1且g(1)??1，设函数
19f(x)?g(x?)?mlnx?（m?R，x?0）．
28（Ⅰ）求g(x)的表达式；
（Ⅱ）若?x?R?，使f(x)?0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设1?m?e，H(x)?f(x)?(m?1)x，求证：对于?x1，x2?[1,m]，恒有
|H(x1)?H(x2)|?1．
2解：（Ⅰ）设g?x??ax?bx?c，于是
8
?a?1，?2 g?x?1??g?1?x??2a?x?1??2c?2?x?1??2，所以???c??1.1121又g?1???1，则b??．所以g?x??x?x?1． …………3分
2221912（Ⅱ）f(x)?gx??mlnx??x?mlnx(m?R，x?0).282
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分
x2?0对?x?0，f(x)?0恒成立； …………5分 当m=0时，f(x)?2m当m<0时，由f?(x)?x??0?x??m，列表：
x22??x f?(x) (0，?m) ?m (?m，??) － 减 0 极小 ＋ 增 f(x) 这时，?mln?m. ?f(x)?min?f(?m)??m2?m??mln?m?0，??e 故?x?0使f(x)?0成立，实数m的取值范围(??,?e]??0，???．…………9分 (x?1)(x?m)?0，所以H(x)在[1,m]内单调递减． x121于是|H(x1)?H(x2)|?H(1)?H(m)?m?mlnm?.22 1113|H(x1)?H(x2)|?1?m2?mlnm??1?m?lnm??0. 2222m213113311(1?m?e)，则h'(m)??? ???1?0，记h(m)?m?lnm?22m2m2m3322m13所以函数h(m)?m?lnm?在?1，e]是单调增函数， 22me3?e?3??e?1? 所以h(m)?h(e)??1???0，故命题成立． …………12分 22e2e（Ⅲ）因为对?x?[1，m]，H?(x)??? 23?x11. 设x?3是函数f?x??x?ax?be,?x?R?的一个极值点. ??（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f?x?的单调区间； 2（2）设a?0,g?x???a???25?x?e，若存在?1,?2??0,4?，使得f??1??g??2??1 成立，求a的4?取值范围. 解：（1）∵f?x??x?ax?be2??3?x 9 23?x?x?a?2x?b?ae 由题意得：???x???2x?a?e3?x??x2?ax?b?e3?x??1??????f'?3??0，即32?3?a?2??b?a?0，b??2a?3 '3?x23?x∴f?x???x?ax?2a?3?e且f?x????x?3??x?a?1?e '令f?x??0得x1?3，x2??a?1 23?x∵x?3是函数f?x???x?ax?b?e,?x?R?的一个极值点 ∴f''∴x1?x2，即a??4 故a与b的关系式为b??2a?3,?a??4?. ?x??0得单增区间为：?3,?a?1?； '由f?x??0得单减区间为：???,3?和??a?1,???； '当a??4时，x2??a?1?3，由f?x??0得单增区间为：??a?1,3?； '由f?x??0得单减区间为：???,?a?1?和?3,???； （2）由（1）知：当a?0时，x2??a?1?0，f?x?在?0,3?上单调递增，在?3,4?上单调递减，f(x)min?min?f(0),f(4)???(2a?3)e3,f?x?max?f?3??a?6, ∴f?x?在?0,4?上的值域为[?(2a?3)e3,a?6]. 当a??4时，x2??a?1?3，由f'易知g?x???a?2??25?x?e在?0,4?上是增函数, 4?∴g?x?在?0,4?上的值域为?a?2??25?225?4?,?a??e?. 4?4??225?1???由于?a2??a?6?a???????0， 4?2???又∵要存在?1,?2??0,4?，使得f??1??g??2??1成立， a?0?3?∴必须且只须??225?解得:0?a?. 2??a?4???a?6??1????3?a所以，的取值范围为?0,?. ?2? 2x12. f(x)?(x?ax?b)e(x?R)． （1）若a?2,b??2，求函数f(x)的极值； （2）若x?1是函数f(x)的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用a表示b），并确 定f(x)的单调区间； （3）在（2）的条件下，设a?0，函数g(x)?(a2?14)ex?4．若存在?1,?2?[0,4]使得 10