11?当0?x?时,f?(x)?0,f(x)单调递增；当?x?1时,f?(x)?0,f(x)递减.
33
11?f()?ln3?为函数f(x)在[0,1]上的极大值.
36⑵由|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?0得
33a?lnx?ln或a?lnx?ln2?3x2?3x
33x32x?3x2?ln设h(x)?lnx?ln，g(x)?lnx?ln， ?ln2?3x2?3x2?3x311依题意知a?h(x)或a?g(x)在x?[,]上恒成立，
632?3x3(2?3x)?3x?32?g?(x)????0， 23xx(2?3x)(2?3x)312?6xh?(x)??(2?6x)??0， 222x?3x32x?3x11?g(x)与h(x)都在[,]上单增，要使不等式①成立，
631111当且仅当a?h()或a?g(),即a?ln或a?ln.
363532 ⑶由f(x)??2x?b?ln(2?3x)?x?2x?b?0.
23237?9x2令?(x)?ln(2?3x)?x?2x?b,则??(x)?， ?3x?2?22?3x2?3x77当x?[0,]时,??(x)?0,于是?(x)在[0,]上递增；
3377x?[,1]时,??(x)?0,于是?(x)在[,1]上递减，
33
77 而?()??(0),?()??(1)，
33?f(x)??2x?b即?(x)?0在[0,1]恰有两个不同实根等价于
???(0)?ln2?b?0?7727??()?ln(2?7)???b?0 ?366?1??(1)?ln5??b?0?2?1727?ln5??b?ln(2?7)??.
263
26
28. (2009宁夏，利用根的分布) 已知函数f(x)?(x3?3x2?ax?b)e?x ⑴如a?b??3，求f(x)的单调区间；
⑵若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在(?,2),(?,??)单调减少，证明：???＜6.解：⑴a?b??3时，f(x)?(x3?3x2?3x?3)e?x，故
w.w.w.ks.5.u.c.o.m w.w.w..s.5.u.c.o.m
w.w.w..s.5.u.c.o.m f'(x)??(x3?3x2?3x?3)e?x?(3x2?6x?3)e?x??x(x?3)(x?3)e?x 当x??3或0?x?3时，f'(x)?0;当?3?x?0或x?3时，f'(x)?0.
0），（3，??）从而f(x)在(??,?3),(0,3)单调增加，在（?3，单调减少.
⑵f'(x)??(x3?3x2?ax?b)e?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3?(a?6)x?b?a]. 由条件得f'(2)?0,即23?2(a?6)?b?a?0,故b?4?a, 从而f'(x)??e?x[x3?(a?6)x?4?2a]. 因为f'(?)?f'(?)?0,
所以x3?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??)?(x?2)[x2?(???)x???]. 将右边展开，与左边比较系数得，?????2,???a?2.故
????(???)2?4???12?4a.
又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0.由此可得a??6.于是????6.
29. （2009天津文，利用根的分布讨论）
w.w 13x?x2??m2?1?x?x?R?，其中m?0 3⑴当m?1时，求曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线的斜率
设函数f?x???⑵求函数f?x?的单调区间与极值
⑶已知函数f?x?有三个互不相同的零点0、x1、x2，且x1?x2，若对任意的
x??x1,x2?,f?x??f?1?恒成立，求m的取值范围.
13x?x2,f/(x)?x2?2x,故f'(1)?1 3所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.
⑵f'(x)??x2?2x?m2?1，令f'(x)?0，得到x?1?m,x?1?m
解：⑴当m?1时，f(x)?因为m?0,所以1?m?1?m，
当x变化时，f(x),f'(x)的变化情况如下表：
(??,1?m) 1?m (1?m,1?m) 1?m (1?m,??) x
+ 0 0 + － f'(x)
f(x) ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓
27
f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)内增函数。
2312函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m)，且f(1?m)=m?m?
332312函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)，且f(1?m)=?m?m?
331212⑶由题设f(x)?x(?x?x?m?1)??x(x?x1)(x?x2)
33122所以方程?x?x?m?1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1?x2?3，且
3411??1?(m2?1)?0，解得m??(舍)，m?
3223因为x1?x2,所以2x2?x1?x2?3,故x2??1（难点）
21若x1?1?x2,则f(1)??(1?x1)(1?x2)?0，而f(x1)?0，不合题意；
3若1?x1?x2,则对任意的x?[x1,x2]有x?x1?0,x?x2?0,
1则f(x)???x(x?x1)(x?x2)?0，又f(x1)?0，所以函数f(x)在x?[x1,x2]的最
312小值为0，于是对任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立的充要条件是f(1)?m??0,
33313解得?，综上，m的取值范围是(,?m?)
3323
30. （2007全国II理22，转换变量后为根的分布） 已知函数f(x)?x3?x．
（1）求曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；
（2）设a?0，如果过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：?a?b?f(a)． 解：（1）f?(x)?3x2?1．y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y?f(t)?f?(t)(x?t)，即y?(3t2?1)x?2t3．
（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b?(3t2?1)a?2t3． 若过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，
则方程 2t3?3at2?a?b?0有三个相异的实数根．
记 g(t)?2t3?3at2?a?b，则g?(t)?6t2?6at?6t(t?a)． 当t变化时，g(t)，g?(t)变化情况如下表：
(??，0) 0 t g?(t) ? 0 g(t) ? 极大值a?b (0，a) a 0 ? ? (a，??) ? 极小值b?f(a) ? 28
如果过(a，b)可作曲线y?f(x)三条切线，
?a?b?0，g(t)?0即有三个相异的实数根，则?即 ?a?b?f(a)．
?b?f(a)?0.3231. 已知函数f?x??ax?bx?3x?a,b?R?在点?1,f?1??处的切线方程为y?2?0．
⑴求函数f?x?的解析式；
⑵若对于区间??2,2?上任意两个自变量的值x1,x2都有f?x1??f?x2??c，求实数c的最小值；
⑶若过点M?2,m??m?2?可作曲线y?f?x?的三条切线，求实数m的取值范围． 解：⑴f??x??3ax?2bx?3．??????????????????????2分
2??a?1?f?1???2,?a?b?3??2,根据题意，得?即?解得?????????3分
?b?03a?2b?3?0,????f?1??0,所以f?x??x?3x．????????????????????????4分
3⑵令f??x??0，即3x2?3?0．得x??1．
x f??x? f?x? ?2 ??2,?1? + 增 ?1 极大值 ??1,1? ? 减 1 极小值 ?1,2? + 增 2 2 ?2 因为f??1??2，f?1???2，
所以当x???2,2?时，f?x?max?2，f?x?min??2．????????????6分 则对于区间??2,2?上任意两个自变量的值x1,x2，都有
f?x1??f?x2??f?x?max?f?x?min?4，所以c?4．
所以c的最小值为4．??????????????????????????8分 ⑶因为点M?2,m??m?2?不在曲线y?f?x?上，所以可设切点为?x0,y0?．
3则y0?x0?3x0．
2因为f??x0??3x0?3，所以切线的斜率为3x0?3．????????????9分
23x0?3x0?m则3x?3=，????????????????????????11分
x0?220 29
32即2x0?6x0?6?m?0．
因为过点M?2,m??m?2?可作曲线y?f?x?的三条切线，
32所以方程2x0?6x0?6?m?0有三个不同的实数解．
所以函数g?x??2x?6x?6?m有三个不同的零点．
32则g??x??6x?12x．令g??x??0，则x?0或x?2．
2x g??x? ???,0? + 增 ，即0 极大值 ?0,2? ? 减 2 极小值 ?2,??? + 增 g?x? 则??g?0??0???g?2??2，解得?6?m?2． ?6?m?0???2?m?032. （2011省模，利用⑴的结论，转化成根的分布分题）
a?lnx?1,g(x)?(lnx?1)ex?x,（其中e?2.718） x（I）求函数f(x)在区间?0,e?上的最小值；
已知a?R，函数f(x)?（II）是否存在实数x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由。
30