1?0，所以p、q的关系为p?q. eqp（2）由（1）知f(x)?px??2lnx?px??2lnx，
xxp2px2?2x?p2'.令h(x)?px?2x?p， f(x)?p?2??2xxx要使f(x)在其定义域(0,??)内单调，只需h(x)?0或h(x)?0恒成立.
2x'①当p?0时，h(x)??2x，因为x＞0，所以h(x)＜0，f(x)??2＜0，
x∴f(x)在(0,??)内是单调递减函数，即p?0适合题意；
12ph(x)?p?②当＞0时，h(x)?px?2x?p，∴， minp1只需p??0，即p?1时h(x)?0,f'(x)?0，
p∴f(x)在(0,??)内为单调递增函数，故p?1适合题意.
而e?③当p＜0时，h(x)?px2?2x?p，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为x?综上所述，p的取值范围为p?1或p?0.
1?(0,??)，p只要h(0)?0，即p?0时，h(x)?0在(0,??)恒成立，故p＜0适合题意.
2e在?1,e?上是减函数， x∴x?e时，g(x)min?2；x?1时，g(x)max?2e，即g(x)??2,2e?，
（3）∵g(x)?①当p?0时，由（2）知f(x)在?1,e?上递减?f(x)max?f(1)?0＜2，不合题意；
1?0， x又由（2）知当p?1时，f(x)在?1,e?上是增函数，
1111∴f(x)?p(x?)?2lnx?x??2lnx?e??2lne?e??2＜2，不合题意；
xxee③当p?1时，由（2）知f(x)在?1,e?上是增函数，f(1)?0＜2，又g(x)在?1,e?上是减函数，
②当0＜p＜1时，由x??1,e??x?故只需f(x)max＞g(x)min，x??1,e?，而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne，g(x)min?2， 即
1e14ep(e?)?2lne＞2，解得p＞2 ，
ee?14e，??). 综上，p的取值范围是(2e?1
17. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）
16
设函数f(x)?x?⑴讨论函数f(x)的单调性；
1?alnx(a?R).x
⑵若f(x)有两个极值点x1,x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k,问：是否存在a，使得k?2?a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
1ax2?ax?1 解：⑴f(x)的定义域为(0,??).f'(x)?1?2??2xxx令g(x)?x2?ax?1,其判别式??a2?4.
①当|a|?2时,??0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增． ②当a??2时,在(0,??)上，f'(x)?0，故f(x)在(0,??)?>0,g(x)=0的两根都小于0，
上单调递增．
22a?a?4a?a?4，
③当a?2时,?>0,g(x)=0的两根为x1?,x2?22当0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时，f'(x)?0；当x?x2时，f'(x)?0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． ⑵由⑴知，若f(x)有两个极值点x1,x2，则只能是情况③，故a?2．
x1?x2?a(lnx1?lnx2)， 因为f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?x1x2f(x1)?f(x2)lnx1?lnx21k??1??a? 所以
x1?x2x1x2x1?x2lnx1?lnx2k?2?a?xx?1 又由⑴知，12，于是x1?x2lnx1?lnx2?1．即lnx1?lnx2?x1?x2． 若存在a，使得k?2?a.则
x1?x21?2lnx2?0(x2?1)(*) 亦即x2?x21再由⑴知，函数h(t)?t??2lnt在(0,??)上单调递增，而x2?1，所以
t11x2??2lnx2?1??2ln1?0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a.
x21
18. （构造函数，好，较难） 已知函数f(x)?lnx?12ax?(a?1)x(a?R，a?0). 2⑴求函数f(x)的单调增区间；
⑵记函数F(x)的图象为曲线C，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)是曲线C上两个不同点，如果曲线
x1?x2；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，2则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问：函数f(x)是否存在中值相依切线，请说明理由. C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0? 17
解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域是(0,??).
1a(x?1)(x?)1a. 由已知得，f'(x)??ax?a?1??xxⅰ 当a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1;?函数f(x)在(0,1)上单调递增 ⅱ 当a?0时，
11 ①当??1时，即a??1时, 令f'(x)?0,解得0?x??或x?1;
aa1?函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增
a1 ②当??1时，即a??1时, 显然，函数f(x)在(0,??)上单调递增；
a11③当??1时，即?1?a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1或x??
aa1?函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增.
a综上所述:
⑴当a?0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增
1a⑶当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增；
1⑷当?1?a?0时,函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增.
a(Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y?f(x)上的不同两点，且0?x1?x2，
1212则y1?lnx1?ax1?(a?1)x1，y2?lnx2?ax2?(a?1)x2.
221(lnx2?lnx1)?a(x22?x12)?(a?1)(x2?x1)y?y2 kAB?21?x2?x1x2?x1lnx2?lnx11 ??a(x1?x2)?(a?1).
x2?x12x?x2x?x2)??a?12?(a?1)， 曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率k?f?(x0)?f?(12x1?x22lnx2?lnx11x?x2依题意得：?a(x1?x2)?(a?1)??a?12?(a?1).
x2?x12x1?x22x2(2?1)x1lnx2?lnx1x2(x2?x1)2?化简可得 ， 即ln2=. ?x2x2?x1x1?x2x1x2?x1?1x1⑵当a??1时,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增
18
设
2(t?1)4x2?2?, ?t (t?1)，上式化为：lnt?t?1t?1x14414(t?1)2lnt??2,令g(t)?lnt?,g'(t)??. ?22t?1t?1t(t?1)t(t?1)因为t?1,显然g'(t)?0，所以g(t)在(1,??)上递增,显然有g(t)?2恒成立.
4?2成立. 所以在(1,??)内不存在t,使得lnt?t?1综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”
19. (2011天津理19，综合应用)
已知a?0，函数f?x??lnx?ax，x?0．(f?x?的图象连续)
2⑴求f?x?的单调区间；
⑵若存在属于区间?1,3?的?,?，且???≥1，使f????f???，证明：
ln3?ln2ln2≤a≤． 5311?2ax22a解：⑴f??x???2ax?，x?0．令f??x??0，则x?．
xx2a当x变化时，f??x?，f?x?的变化情况如下表：
x f??x? f?x? ?2a???0,2a?? ??2a 2a0 极大值 ?2a???2a,???? ??? 单调递增 ? 单调递减 ??2a?2a?fx0,,??所以??的单调增区间是???2a??，单调减区间是??2a?．
????
⑵由f????f???及f?x?的单调性知??2a从而f?x?在区间??,??上的最小值为??．
2af???．
又由????1，?,???1,3?，则1???2???3．
19
所以?所以
??f?2??f????f?1?,?ln2?4a??a, 即?f2?f??f3,?????ln2?4a?ln3?9a.????ln3?ln2ln2?a?． 53
20. （恒成立，直接利用最值）
已知函数f(x)?ln(ax?1)?x2?ax, a?0，
1是函数f(x)的一个极值点，求a； 2⑵讨论函数f(x)的单调区间；
⑴若x?⑶若对于任意的a?[1,2],不等式f?x?≤m在[,1]上恒成立，求m的取值范围.
122ax2?(2?a2)x, 解：⑴f?(x)?ax?111因为x?是函数f(x)的一个极值点，所以f?()?0，得a2?a?2?0.
22又a?0，所以a?2.
1⑵因为f(x)的定义域是(?, ??)，
aa2?22ax(x?)2ax2?(2?a2)x2a. f?(x)??ax?1ax?1①当a?2时，列表 1a2?2a2?2x (?, 0) (0, ) (, ??) a2a2af?(x) ＋ － ＋ f(x) 增 减 增 1a2?2a2?2f(x)在(?, 0)，(, ??)是增函数；f(x)在(0, )是减函数.
a2a2a22x22②当a?2时，f?(x)?≥0，f(x)在(?, ??)是增函数. 22x?1③当0?a?2时，列表 1a2?2a2?2(0, ??) x (?, ) (, 0) a2a2af?(x) ＋ － ＋ f(x) 增 减 增 1a2?2a2?2f(x)在(?, ),(0, ??)是增函数；f(x)在(, 0)是减函数.
a2a2a⑶
20