33. 已知函数f(x)?x，函数g(x)??f(x)?sinx是区间[-1，1]上的减函数. （I）求?的最大值；
（II）若g(x)?t2??t?1在x?[?1,1]上恒成立，求t的取值范围；
lnx?x2?2ex?m的根的个数． f(x)解：（I）f(x)?x,?g(x)??x?sinx，?g(x)在[?1,1]上单调递减，?g'(x)???cosx?0 ????cosx在[-1，1]上恒成立，????1，故?的最大值为?1.
（II）由题意[g(x)]max?g(?1)????sin1,?只需???sin1?t2??t?1,
，恒成立，令h(?)?(t?1)??t2?sin1?1?0(???1)，?(t?1)??t2?sin?1?0（其中???1）
?t??1?t?1?0,而t2?t?sin1?0恒成立，?t??1 则?，??22??t?1?t?sin1?1?0?t?t?sin1?0lnxlnx??x2?2ex?m. （Ⅲ）由
f(x)xlnx1?lnx,f2(x)?x2?2ex?m,?f1'(x)?, 令f1(x)?2xx当x?(0,e)时,f1'(x)?0,?f1(x)在?0,e?上为增函数； 当x??e,???时，f1'(x)?0,?f1(x)在?e,???为减函数；
1 当x?e时,[f1(x)]max?f1(e)?,e1122而f2(x)?(x?e)2?m?e2,?当m?e?,即m?e?时,方程无解；
ee1122当m?e?,即m?e?时，方程有一个根；
ee1122当m?e?时,m?e?时，方程有两个根.
ee （Ⅲ）讨论关于x的方程
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三、不等式证明 作差证明不等式
34. （2010湖南，最值、作差构造函数） 已知函数f(x)?ln(x?1)?x． (1)求函数f(x)的单调递减区间；
31
(2)若x??1，求证：1?1≤ln(x?1)≤x． x?11x?1??， x?1x?1解：(1)函数f (x)的定义域为(－1，+∞),f?(x)?x??0??由f?(x)?0 得：?x?1，∴x＞0,∴f (x)的单调递减区间为(0，+∞).
??x??1(2)证明：由(1)得x∈(－1，0)时，f?(x)?0， 当x∈(0，+∞)时，f?(x)?0，且f?(0)?0
∴x＞－1时，f (x)≤f (0)，∴ln(x?1)?x≤0，ln(x?1)≤x
11x1?g(x)???g(x)?ln(x?1)??1 令，则， x?1(x?1)2(x?1)2x?1∴－1＜x＜0时，g?(x)?0，x＞0时，g?(x)?0，且g?(0)?0 1?1≥0 x?111∴ln(x?1)≥1?，∴x＞－1时，1?≤ln(x?1)≤x．
x?1x?1∴x＞－1时，g (x)≥g (0)，即ln(x?1)?
35. （2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0．设两曲线2y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． ⑴用a表示b，并求b的最大值； ⑵求证：当x?0时，f(x)≥g(x)．
解：⑴设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．
23a∵f?(x)?x?2a，g?(x)?，由题意f(x0)?g(x0)，f?(x0)?g?(x0)．
x?122x?2ax?3alnx0?b，00?23a2?即?由x0?2a?得：x0?a，或x0??3a（舍去）． 23ax0?x0?2a?，?x0?125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna． 22522令h(t)?t?3tlnt(t?0)，则h?(t)?2t(1?3lnt)．于是
21当t(1?3lnt)?0，即0?t?e3时，h?(t)?0；
1当t(1?3lnt)?0，即t?e3时，h?(t)?0．
即有b?故h(t)在(0，e3)为增函数，在(e3,+?)为减函数，
233?∞)的最大值为h(e)?e． 于是h(t)在(0，21311 32
12x?2ax?3a2lnx?b(x?0)， 223a(x?a)(x?3a)则F?(x)?x?2a??(x?0)．
xx?∞)为增函数， 故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，?∞)上的最小值是F(a)?F(x0)?f(x0)?g(x0)?0． 于是函数F(x)在(0，⑵设F(x)?f(x)?g(x)?故当x?0时，有f(x)?g(x)≥0，即当x?0时，f(x)≥g(x)．
36. （2009全国II理21，字母替换，构造函数）
设函数f?x??x?aln?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2
2⑴求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性；
1?2ln2. 4a2x2?2x?a解: ⑴f??x??2x??(x??1)
1?x1?x1 令g(x)?2x2?2x?a，其对称轴为x??。
2 由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个均大于?1的不相等的实根，
???4?8a?01 其充要条件为?，得0?a?
2?g(?1)?a?0 当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数；
⑵证明：f?x2??
当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数； 当x?(x2,??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数；
1?x2?0， 222由g(x2)?2x2?2x2?a?0得a??(2x2+2x2)，
⑵由⑴知g(0)?a?0,???f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?
12则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x?
设h?x??x?(2x?2x)ln?1?x?(x??)，
2211,0)时，h??x??0,?h(x)在[?,0)单调递增； 22当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。
当x?(?所以，当x?(?,0)时,h?x??h(?)?12121?2ln2 4 33
故f?x2??h(x2)?1?2ln2． 4变形构造函数证明不等式
37. （变形构造新函数，一次） 已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax． ⑴试讨论f(x)在定义域内的单调性；
|f(x1)?f(x2)|?1．求实数m的取值范围．
|x1?x2|a?1(a?1)?ax?a?解：⑴函数的定义域为(0,??)，f?(x)?． xxa?1a?1,??)，减区间为(0,)； 当a??1时，增区间为(aa当?1≤a≤0时，增区间为(0,??)；
a?1a?1)，减区间为(,??)． 当a?0时，增区间为(0,aa⑵当a＞0时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，
不妨设0?x1?x2?1，则x1?x2?0,f(x1)?f(x2)?0， |f(x1)?f(x2)|?1等价于f(x1)?f(x2)?x1?x2，即f(x1)?x1?f(x2)?x2． ∴
|x1?x2|(a?1)?ax(a?1)(1?x)?1?构造g(x)?f(x)?x，则g?(x)＞0(0?x?1)． xx∴g(x)在(0,1)上是增函数，当0?x1?x2?1时，g(x1)?g(x2)，
⑵当a＜－1时，证明：?x1,x2?(0,1)，
即f(x1)?x1?f(x2)?x2，即f(x1)?f(x2)?x1?x2． 又当a＞0时，f(x)在区间(0,1)上单调递增， ∴x1?x2?0,f(x1)?f(x2)?0．
|f(x1)?f(x2)|?1． ∴|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|，即
|x1?x2|
38. （2011辽宁理21，变形构造函数，二次） 已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. ⑴讨论函数f(x)的单调性；
⑵设a??1，如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|，求a的取值范围.
a?12ax2?a?1. 解：⑴f(x)的定义域为（0，+∞）. f?(x)??2ax?xx当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；
34
a?1. 2aa?1a?1则当x?(0,?)时，f'(x)＞0；x?(?,??)时，f'(x)＜0.
2a2a当－1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得x??a?1a?1)单调增加，在(?,??)单调减少. 2a2a⑵不妨假设x1?x2，而a＜－1，由⑴知在（0，+∞）单调减少，从而
故f(x)在(0,? ?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2
等价于?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1?? ①
a?1?2ax?4 xa?1?2ax?4?0. ①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即x?4x?1?4x?1,h(x)?(x?0),并设t?4x?1?1， 从而a?设222x?12x?1?8t?8y?2?t?1?8??2. ∴x?，∴t?2t?9t?9?2≤
43?3?2t令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)?故a的取值范围为（－∞，－2].
39. （2010辽宁文21，构造变形，二次） 已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. ⑴讨论函数f(x)的单调性；
⑵设a≤?2，证明：对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|.
a?12ax2?a?1. 解：⑴ f(x)的定义域为(0,+?)，f?(x)??2ax?xx当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；
当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?x∈(?a?1.当x∈(0, 2a?a?1)时, f?(x)＞0； 2aa?1，+?)时，f?(x)＜0, 2aa?1a?1）单调增加，在（?，+?）单调减少. 2a2a⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少.
所以f(x1)?f(x2)≥4x1?x2等价于f(x1)?f(x2)≥4x1－4x2,
故f(x)在（0,
?即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
35