|f(?1)?f(?2)|?1成立，求a的取值范围．
解:（1）∵f?(x)?(2x?a)ex?(x2?ax?b)ex?[x2?(2?a)x?(a?b)]ex
当a?2,b??2时，f(x)?(x2?2x?2)ex,则f'(x)?(x2?4x)ex.
令f'(x)?0得(x2?4x)ex?0，∵ex?0,∴x2?4x?0，解得x1??4,x2?0 ∵当x?(??,?4)时，f'(x)?0，
当x?(?4,0)时f'(x)?0，当x?(0,??)时f'(x)?0 ∴当x??4时，函数f(x)有极大值，f(x)极大＝6， e4当x?0时，函数f(x)有极小值，f(x)极小??2． （2）由（1）知f?(x)?[x2?(2?a)x?(a?b)]ex ∵x?1是函数f(x)的一个极值点 ∴f?(1)?0 即e[1?(2?a)?(a?b)]?0，解得b??3?2a
则f?(x)?ex[x2?(2?a)x?(?3?a)]＝ex(x?1)[x?(3?a)] 令f?(x)?0，得x1?1或x2??3?a
∵x?1是极值点，∴?3?a?1，即a??4 .
当?3?a?1即a??4时，由f?(x)?0得x?(?3?a,??)或x?(??,1) 由f?(x)?0得x?(1,?3?a)
当?3?a?1即a??4时，由f?(x)?0得x?(1,??)或x?(??,?3?a) 由f?(x)?0得x?(?3?a,1). 综上可知：
当a??4时，单调递增区间为(??,1)和(?3?a,??)，递减区间为(1,?3?a) 当a??4时，单调递增区间为(??,?3?a)和(1,??)，递减区间为(?3?a,1)。 （3）由2）知：当a>0时，f(x)在区间（0，1）上的单调递减， 在区间（1，4）上单调递增，
∴函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为f(1)??(a?2)e 又∵f(0)?bex??(2a?3)?0，f(4)?(2a?13)e4?0，
∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1),f(4)]，即[?(a?2)e,(2a?13)e4]]
又g(x)?(a2?14)ex?4在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[(a2?14)e4,(a2?14)e8].
∵(a2?14)e4－(2a?13)e4＝(a2?2a?1)e4＝(a?1)2e4?0， ∴存在?1,?2?[0,4]使得|f(?1)?f(?2)|?1成立只须
(a2?14)e4－(2a?13)e4<1?(a?1)2e4?1?(a?1)2?111?1??a?1?.． e4e2e2
13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数f(x)?lnx?ax?⑴当a≤1?a?1(a?R). x1时，讨论f(x)的单调性； 211
⑵设g(x)?x2?2bx?4.当a?1时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使f(x1)≥g(x2)，4求实数b取值范围.
解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数.
1?ala?1?ax2?x?a?1?1(x?0)，f?(x)??a?2?⑴f(x)?lnx?ax?(x?0) 2xxxx令h(x)?ax2?x?1?a(x?0)
①当a?0时，h(x)??x?1(x?0)，当x?(0,1),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减；当x?(1,??),h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增.
1②当a?0时，由f?(x)?0，即ax2?x?1?a?0，解得x1?1,x2??1.
a1当a?时x1?x2，h(x)?0恒成立，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减；
211当0?a?时，?1?1?0,x?(0,1)时h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递减；
2a1x?(1,?1)时，h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增；
a1x?(?1,??)时，h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递减.
a1当a?0时?1?0，当x?(0,1),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减；
a当x?(1,??),h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增.
综上所述：当a?0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,??)单调递增；
1当a?时x1?x2,h(x)?0恒成立,此时f?(x)?0，函数f(x)在(0,??)单调递减；
2111当0?a?时,函数f(x)在(0,1)递减,(1,?1)递增,(?1,??)递减.
2aa1⑵当a?时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x1?(0,2)，
41有f(x1)≥f(1)??，
21又已知存在x2??1,2?，使f(x1)?g(x2)，所以??g(x2)，x2??1,2?，（※）
2又g(x)?(x?b)2?4?b2,x?[1,2]
当b?1时，g(x)min?g(1)?5?2b?0与（※）矛盾；
当b??1,2?时，g(x)min?g(1)?4?b?0也与（※）矛盾；
2 12
当b?2时，g(x)min?g(2)?8?4b??综上，实数b的取值范围是[117,b?. 2817,??). 81?a?1． 14. 设函数f(x)?lnx?ax?x（Ⅰ）当a?1时，过原点的直线与函数f(x)的图象相切于点P，求点P的坐标；
1（Ⅱ）当0?a?时，求函数f(x)的单调区间；
2152（Ⅲ）当a?时，设函数g(x)?x?2bx?，若对于?x1?（0,e]，?x2?[0，1]
312使f(x1)≥g(x2)成立，求实数b的取值范围.（e是自然对数的底，e?3?1）
11?a解：函数f(x)的定义域为(0，??)，f?(x)??a?2
xx（Ⅰ）设点P(x0,y0)(x0?0)，当a?1时，f(x)?lnx?x?1，则y0?lnx0?x0?1，
11lnx0?x0?1f?(x)??1，∴f?(x0)??1?
xx0x0解得x0?e2，故点P 的坐标为(e2，1?e2)
?ax?ax?a?1(x?1)(ax?1?a)????x2x2x211?a?1?0 ∵0?a? ∴
2a1?a1?a∴当0?x?1，或x?时f?(x)?0，当1?x?时，f?(x)?0
aa11?a)； 故当0?a?时，函数f(x)的单调递增区间为(1,2a1?a,??) 单调递减区间为(0,1)，(a1x2?1由（Ⅱ）可知函数f(x)在（Ⅲ）当a?时，f(x)?lnx??（0，1)上是减函数，
333x2e2（1，2)上为增函数，在(2，e]上为减函数，且f(1)??，f(e)??? 在
333e2?e2?2e3?(e?1)22?∵f(e)?f(1)?，又e?3?1，∴(e?1)?3，
3e3e2∴f(e)?f(1)，故函数f(x)在(0,e]上的最小值为?
3若对于?x1?（0,e]，?x2?[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于
2f(x)在(0,e]上的最小值?（*）
3（Ⅱ）f?(x)?2a(x?1)(x?1?a)a
13
又g(x)?x?2bx?255?(x?b)2?b2?，x?[0,1] 121252??与（*）矛盾 123①当b?0时，g(x)在[0,1]上为增函数，[g(x)]min?g(0)??②当0?b?1时，[g(x)]min?g(b)??b?由?b?225， 12
521??及0?b?1得，?b?1 1232③当b?1时，g(x)在[0,1]上为减函数，
7172[g(x)]min?g(1)??2b????，此时b?1
121231??）综上，b的取值范围是[， 2
15. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数f(x)?xlnx,g(x)??x2?ax?3． ⑴求f(x)在[t,t?2](t?0)上的最小值；
⑵若存在x??,e?（e是常数，e＝2.71828???）使不等式2f(x)?g(x)成立，求实数a的取
e值范围；
⑶证明对一切x?(0,??),都有lnx?解：⑴
，
?1???12?成立． exex
所以f?x?min⑵由题意知
1?1? 0?t???ee??
1?tInt t??e? 14
32xInx??x2?ax?3,则a?2Inx?x?,x323?x?3??x?1??设h?x??2Inx?x??x?0?则h?x???1?2?xxxx2?1?当x??,1?时，h??x??0,h?x?单调递减；?e?当x??1,e?时，h??x??0,h?x?单调递增；
??1???1?所以h?x?max?max?h??,h(e)?,因为存在x??,e?,使2f?x??g?x?成立，?e???e??所以a?h?x?max,113h()??2??3e，h(e)?2?e? eee11而h()?h(e)，故a??3e?2
eex2（Ⅲ） 等价证明xInx?x??x??0,????
ee由⑴知
f?x??xInx?x??0,????的最小值是-1e1当且仅当x?取到，
ex21?x设??x??x??x??0,????,则???x??x,eee1易得??x?max???1???，当且仅当x?1时取到，e
x2从而对一切x??0,???都有xInx?x?成立，ee12即Inx?x?对一切x??0,???成立．
eex
16. （最值应用） 设函数f(x)?px?⑴求p与q的关系；
⑵若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； ⑶设g(x)?围.
解：（1）由题意得f(e)?pe?qp?2lnx，且f(e)?qe??2，其中e是自然对数的底数. xe2e，若在?1,e?上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数p的取值范xqp1?2lne?qe??2?(p?q)(e?)?0 eee15