2a?12ax?4x?a?1. ?2ax+4＝令g(x)=f(x)+4x,则g?(x)?xx1设h(x)?2ax2?4x?a?1，a≤－1，对称轴为x??，
a8a(a?1)?16(a?2)(a?1)?结合图象知h(x)≤≤0，
8aa22?4x?4x?1?(2x?1)于是g?(x)≤＝≤0.
xx从而g(x)在（0,+?）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+?) ，f(x1)?f(x2)≥4x1?x2
40. （辽宁，变形构造，二次）
12
x－ax+(a－1)lnx，a?1. 2（1）讨论函数f(x)的单调性；
已知函数f(x)=
w.w.w..s.5.u.c.o.m （2）证明：若a?5，则对任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有解：(1)f(x)的定义域为(0,??).
f(x1)?f(x2)??1.
x1?x2a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a) f(x)?x?a???xxx(x?1)2'①若a?1?1即a?2,则f(x)?，故f(x)在(0,??)单调增加。
x②若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时，f'(x)?0; 当x?(0,a?1)及x?(1,??)时，f'(x)?0
故f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加。
③若a?1?1,即a?2,同理f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调增加.
12⑵考虑函数 g(x)?f(x)?x?x?ax?(a?1)lnx?x
2a?1a?1则g?(x)?x?(a?1)??2xg?(a?1)?1?(a?1?1)2（另一种处理）
xx由于1
f(x1)?f(x2)??1， 即f(x1)?f(x2)?x1?x2?0，故
x1?x2f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)???1. 当0?x1?x2时，有
x1?x2x2?x1'（另一种处理）
a?1x2?(a?1)x?a?1，结合二次函数图象 g?(x)?x?(a?1)??xx 36
4(a?1)?(a?1)2?(a?3)2?6设h(x)?x?(a?1)x?a?1(1?a?5)≥≥＞0
442
41. 已知函数f(x)?x?1?alnx(a?0). （1）确定函数y?f(x)的单调性；
（2）若对任意x1,x2??0,1?，且x1?x2，都有|f(x1)?f(x2)|?4|范围。
11?|，求实数a的取值x1x2
42. （变形构造）
已知二次函数f?x??ax?bx?c和“伪二次函数”g?x??ax?bx?clnx（a、b、
22c?R,abc?0），
(I)证明：只要a?0，无论b取何值，函数g?x?在定义域内不可能总为增函数； (II)在二次函数f?x??ax?bx?c图象上任意取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB中
2点的横坐标为x0，记直线AB的斜率为k， (i)求证：k?f?(x0)；
2(ii)对于“伪二次函数”g?x??ax?bx?clnx，是否有①同样的性质?证明你的结论.
2c2ax?bx?c解：（I）如果x?0,g(x)为增函数,则g?(x)?2ax?b???0(1)恒成立,
xx 37
当x?0时恒成立, 2ax2?bx?c?0(2)
?a?0,由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数g(x)不可能总为增函数. 3分 （II）（i）k?? =2ax0?b.
x2?x1x2?x1由f?(x)?2ax?b,?f?(x0)?2ax0?b, 则k?f?(x0)--------5分 （ii）不妨设x2?x1,对于“伪二次函数”:
xx2a(x2?x12)?b?x2?x1??cln2cln2g?x2??g?x1?x1 =x1, (3) 7分 k??2ax0?b?x2?x1x2?x1x2?x1由(ⅰ)中(1)g??x0??2ax0?b?f?x2??f?x1?2a(x2?x12)?b?x2?x1?c,如果有(ⅰ)的性质，则g??x0??k , (4) x0x2xln2x1x1c，c?0,即：2，(4) --------10分 比较(3)( 4)两式得
??x2?x1x0x2?x1x1?x2clnx2lnt2, t?1, ?， (5) x1t?1t?112(t?1)?2(t?1)(t?1)22t?2??0， 设 s(t)?lnt?，则s?(t)??t?1t(t?1)2t(t?1)2∴s(t)在(1,??)上递增， ∴s(t)?s(1)?0.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,g??x0??k.
不妨令t? ∴“伪二次函数”g?x??ax?bx?clnx不具有(ⅰ)的性质. -------12分
2
43. (变形构造，第2问用到均值不等式)
22
已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x＋4ax＋1，g(x)＝6alnx＋2b＋1，其中a＞0.
⑴设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值； ⑵设h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，证明：若a≥－1，则h(x)在(0,＋∞)上单调递增； ⑶设F(x)＝f(x)＋g(x)，求证：对任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8. 解：⑴设f(x)与g(x)交于点P(x0，y0)，则有
f(x0)＝g(x0)，即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.① 又由题意知f′(x0)＝g′(x0)，即2x0＋4a＝.② 由②解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
22
将x0＝a代入①整理得b＝a－3alna.
22
令s(a)＝a－3alna，则s′(a)＝2a(1－3lna)，
32a∈(0,)时，s(a)递增，a∈(,＋∞)时，s(a)递减，所以s(a)≤s()＝e3，
232323即b≤e，b的最大值为e3. 22⑵h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，h′(x)＝2x＋＋4a－8，
因为a≥－1，所以h′(x)＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4(＋1)(－1)－8≥0，即h(x)在(0,＋∞)内单调递增．
⑶由⑵知x1＜x2时，h(x1)＜h(x2)，即F(x1)－8x1＜F(x2)－8x2. 因为x1＜x2，所以＞8.
38
a，a为正常数． x?19⑴若f(x)?lnx??(x)，且a?，求函数f(x)的单调增区间；
2⑵在⑴中当a?0时，函数y?f(x)的图象上任意不同的两点A?x1,y1?，B?x2,y2?，线段AB的中点为C(x0,y0)，记直线AB的斜率为k，试证明：k?f?(x0)．
g(x2)?g(x1)??1，求a的??x,x?0,2x?xg(x)?lnx??(x)⑶若，且对任意的12，12，都有x2?x1取值范围．
1ax2?(2?a)x?1?解：⑴f?(x)??
x(x?1)2x(x?1)2911∵a?，令f?(x)?0得x?2或0?x?,∴函数f(x)的单调增区间为(0,),(2,??).
222⑵证明：当a?0时f(x)?lnx
xln2121?f(x2)?f(x1)lnx2?lnx1x1 ∴f?(x)?, ∴f?(x0)?,又
k???xx?xx012x2?x1x2?x1x2?x1xln22x1与不妨设x2?x1 ， 要比较k与f?(x0)的大小，即比较的大小，
x1?x2x2?x1x2(2?1)x22(x2?x1)x1lnx?x?又∵2与的大小． 1，∴ 即比较x2x1x1?x2?1x144. 已知函数?(x)?14(x?1)22(x?1)??0, (x?1),则h?(x)??令h(x)?lnx?x(x?1)2x(x?1)2x?1∴h(x)在?1,???上位增函数．
x2(2?1)x2xxx1?1，∴h(2)?h(1)?0， ∴ln2?又，即k?f?(x0)
xx1x1x12?1x1g(x2)?g(x1)g(x2)?x2??g(x1)?x1???1，∴ ?0 ⑶∵
x2?x1x2?x1由题意得F(x)?g(x)?x在区间?0,2?上是减函数．
1aa?1 ?x， ∴ F?(x)??1? 当1?x?2,F(x)?lnx?2x(x?1)x?1(x?1)21由F?(x)?0?a??(x?1)2?x2?3x??3在x??1,2?恒成立．
xx11设m(x)?x2?3x??3，x??1,2?，则m?(x)?2x?2?3?0
xx27∴m(x)在?1,2?上为增函数，∴a?m(2)?.
2 39
2? 当0?x?1,F(x)??lnx?1aa?1 ?x，∴ F?(x)???2x(x?1)x?1(x?1)21由F?(x)?0?a???(x?1)2?x2?x??1在x?(0,1)恒成立
xx1设t(x)?x2?x??1，x?(0,1)为增函数,∴a?t(1)?0
x27综上：a的取值范围为a?.
245. 已知函数f(x)?lnx?
12ax?(a?1)x（a?0）． 2（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）记函数y?F(x)的图象为曲线C．设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两
x1?x2；②曲线C在点M处的切2线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”．试问：函数f(x)是否存在“中
点．如果在曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0?值相依切线”，请说明理由． 解：（Ⅰ）易知函数f(x)的定义域是(0,??)，
1a(x?1)(x?)1a．????1分 f'(x)??ax?a?1??xx11 ①当??1时，即a??1时, 令f'(x)?0,解得0?x??或x?1;
aa1 令f'(x)?0,解得??x?1．?????2分
a11 所以，函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增,在(?,1)上单调递减
aa1 ②当??1时，即a??1时, 显然，函数f(x)在(0,??)上单调递增；?????3分
a11 ③当??1时，即?1?a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1或x??;
aa1 令f'(x)?0,解得1?x??．?????4分
a11 所以，函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增,在(1,?)上单调递减
aa综上所述，
11,1)上单调递减；
aa⑵当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增；
11⑶当?1?a?0时,函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增,在(1,?)上单调递
aa⑴当a??1时,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增,在(?减．?????5分
（Ⅱ）假设函数f(x)存在“中值相依切线”．
40