21. （最值与图象特征应用）
e?x设a?R，函数f(x)?(ax2?a?1)(e为自然对数的底数）.
2⑴判断f(x)的单调性；
1⑵若f(x)?2在x?[1,2]上恒成立，求a的取值范围.
e1?x1?x1?x22解：⑴∵f?(x)??e(ax?a?1)?e?(2ax)?e(?ax?2ax?a?1),
222令g(x)??ax2?2ax?a?1.
①当a?0时,g(x)??1?0,?f?(x)?0,?f(x)在R上为减函数. ②当a?0时,g(x)?0的判别??4a2?4(a2?a)??4a?0, ?g(x)?0,即f?(x)?0?f(x)在R上为减函数.
112x?1?或x?1?, ③当a?0时，由?ax?2ax?a?1?0,得
?a?a11?x?1?, 由?ax2?2ax?a?1?0,得1??a?aa??aa??a?f(x)在(??,),(,??)上为增函数；
aaa??aa??af(x)在(,)上为减函数.
aa⑵由⑴知
①当a?0时,f(x)在[1,2]上为减函数.
?f(x)min?f(2)?5a?15a?111.由?得a?.
52e22e2e25a?11? ②当a?0时,f(2)?222e2e11?f(x)?2在[1，2]上不恒成立，∴a的取值范围是(,??).
5e
22. (单调性)
21
已知f(x)=ln(x+2)－x2+bx+c ⑴若函数f(x)在点(1，且f(－1)=0，求函数f(x)在区间[0,3]y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，上的最小值；
⑵若f(x)在区间[0,m]上单调，求b的取值范围. 解：⑴f?(x)?
13?2x?b，依题意令f?(1)= ，f(?1)＝0，解得b=4，c=5. x?271?2x2?932 ?f?(x)??2x?4??0得x?x?2x?22333x 0 (0,2) 2 2,3） 3 （222 8+ln5 y′ + 0 － y ln2+5 极大 因为8+ln5>5+ln2 ∴x=0时f(x)在[0，3]上最小值f(0)=5+ln2. ⑵若f(x)在区间[0，m]上单调，有两种可能
11?2x?b≥0得b≥2x－，在[0，m]上恒成立 x?2x?2111 而y=2x－. 在[0，m]上单调递增，最大值为2m－，∴b≥2m－
x?2m?2m?211 ?2x?b≤0 得b≤2x－②令f?(x)?，
x?2x?2111而 y=2x－在[0，m]单增，最小为y=－，∴b≤－.
x?22211故b≥2m－或b≤－时f(x)在[0，m]上单调.
m?22
①令f?(x)?
23. （单调性，用到二阶导数的技巧） 已知函数f(x)?lnx
f(x)?a(a?R)，求F(x)的极大值； x ⑵若G(x)?[f(x)]2?kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.
f(x)?alnx?a?解：⑴?F(x)?定义域为x?(0,??) xx(1?a)?lnx?F?(x)? 2x令F?(x)?0得x?e1?a 由F?(x)?0得0?x?e1?a 由F?(x)?0得x?e1?a
⑴若F(x)?即F(x)在(0,e1?a)上单调递增，在(e1?a,??)上单调递减
1?a?aa?1)?e ?ae2lnx?k ⑵?G(x)?(lnx)2?kx的定义域为(0，+∞)，?G?(x)?x?x?e1?a时，F(x)取得极大值F(e1?a? 22
2lnx?k?0在(0，+∞)内恒成立 x22(1?lnx) 由H?(x)?0得x?e 令H(x)?lnx?k，则H?(x)?2xx∵当x?(0,e)时H?(x)?0,H(x)为增函数 当x?(e,??)时H?(x)?0，H(x)为减函数
2∴当x = e时，H(x)取最大值H(e)??k
e22故只需?k?0恒成立，?k?
ee22又当k?时，只有一点x = e使得G?(x)?H(x)?0不影响其单调性?k?.
ee由G (x)在定义域内单调递减知：G?(x)?
二、交点与根的分布
24. （2008四川22，交点个数与根的分布）
已知x?3是函数f(x)?aln(1?x)?x2?10x的一个极值点． ⑴求a；
⑵求函数f(x)的单调区间；
⑶若直线y?b与函数y?f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．
a?2x?10 解：⑴f(x)?aln(1?x)?x2?10x，f'(x)?1?xx?3是函数f(x)?aln(1?x)?x2?10x的一个极值点．
f'(3)?a?4?0，a?16 4⑵由⑴f(x)?16ln(1?x)?x2?10x，x?(?1,??)
令f'(x)?0，得x?1，x?3，f'(x)和f(x)随x的变化情况如下： (3,??) (?1,1) 1 (1,3) 3 x f'(x) ? 0 ? 0 ? f(x) 增 极大值 减 极小值 增 f(x)的增区间是(?1,1)，(3,??)；减区间是(1,3)． ⑶由②知，f(x)在(?1,1)上单调递增，在(3,??)上单调递增，在(1,3)上单调递减． ∴f(x)极大?f(1)?16ln2?9，f(x)极小?f(3)?32ln2?21． 又x??1?时，f(x)???；x???时，f(x)???； 可据此画出函数y?f(x)的草图（图略），由图可知， 当直线
162x2?8x?62(x?1)(x?3) f'(x)??2x?10??1?xx?1x?1y?b与函数y?f(x)的图像有3个交点时，b的取值范围为(32ln2?21,16ln2?9)．
3225. 已知函数f?x???x?ax?bx?c在???,0?上是减函数，在?0,1?上是增函数，函数
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f?x?在R上有三个零点． （1）求b的值；
（2）若1是其中一个零点，求f?2?的取值范围； （3）若a?1，g?x??f相切？请说明理由.
'?x??3x2?lnx，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)
⑶g(x)=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为(x0,y0)
1)(x0?2) ∴y0?5?g(x0)(x0?2)，x02122/lnx??2?0?2=0，∴x?2 lnx??2h(x)==∴，令∴h(x)0x0xxx，
∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，??）上单调递增
12?又h()?2?ln2?0，h(2)=ln2-1<0，h(e2)?2?0
2e/即2x0?lnx0?5?(2?∴h(x)与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.
26. （交点个数与根的分布）
已知函数f(x)??x2?8x,g(x)?6lnx?m.⑴求f(x)在区间?t,t?1?上的最大值h(t);
⑵是否存在实数m,使得y?f(x)的图像与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点？若
24
存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 解：⑴f(x)??x2?8x??(x?4)2?16.
当t?1?4,即t?3时，f(x)在?t,t?1?上单调递增，
h(t)?f(t?1)??(t?1)2?8(t?1)??t2?6t?7; 当t?4?t?1,即3?t?4时，h(t)?f(4)?16;
当t?4时，f(x)在?t,t?1?上单调递减，h(t)?f(t)??t2?8t.
??t2?6t?7,t?3,?3?t?4, 综上h(t)??16, ??t2?8t, t?4?⑵函数y?f(x)的图像与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数 ?(x)?g(x)?f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 ??(x)?x2?8x?6lnx?m, 62x2?8x?62(x?1)(x?3)??'(x)?2x?8???(x?0),xxx当x?(0,1)时，?'(x)?0,?(x)是增函数； 当x?(0,3)时，?'(x)?0,?(x)是减函数； 当x?(3,??)时，?'(x)?0,?(x)是增函数； 当x?1,或x?3时，?'(x)?0.
??(x)最大值??(1)?m?7,?(x)最小值??(3)?m?6ln3?15. ?当x充分接近0时，?(x)?0,当x充分大时，?(x)?0.
?要使?(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ???(x)最大值?m?7?0, 即7?m?15?6ln3. ????(x)最小值?m?6ln3?15?0,∴存在实数m，使得函数y?f(x)与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15?6ln3).
27. （交点个数与根的分布）
已知函数f(x)?ln(2?3x)?⑴求f(x)在[0,1]上的极值；
⑵若对任意x?[,],不等式|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?0成立，求实数a的取值范围；
32x. 21163⑶若关于x的方程f(x)??2x?b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.
3?3(x?1)(3x?1)?3x?解：⑴f?(x)?，
2?3x3x?21令f?(x)?0得x?或x??1（舍去）
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