辽宁师范大学硕士学位论文
3 数学变式教学相关理论概述
3．1数学变式教学
3．1．1变式的定义
很多教育心理学和数学教育心理学中也对变式一词给了不同的定义，不过究其本质是是没有太多区别的[11]。
所谓变式，是通过变更对象的无关属性的表现形式，是变更人们观察事物的角度和方法，以突出对象的关键属性[12]。变式中主要抓住的是“不变”，它的意义在于可以将概念发展转化为过程的内化、凝聚、具体化三个阶段。 3．1．2数学变式、数学变式教学的含义
数学在表面上看充斥着大量的“变”，从这些“变”中发现本质的“不变”一直是数学领域中的重要研究方向。把变式的思想运用到教学当中，帮助学生认清学习对象的本质，很好的提升学生的认知能力，也就是说要在教学中应用变式。它有很多种表现形式，但最终希望达到的是学生能够做到举一反三，灵活掌握学习对象，并有一定的创新思想[13]。
那么数学变式的含义简单的说就是在原命题的本质内容不变的情况下，对非本质的属性进行的变化 [9]。通俗的说，数学教学中运用数学变式就是数学变式教学。
3．2数学变式教学理论基础
3．2．1 变异理论
变异理论（马登理论）是由瑞士教学家 F.Marton 首先提出的教学理论，他利用“现象图数学”提出了鉴别和差异这两个核心概念。并且对学习一词阐明了自己的看法，他认为学习就是鉴别，而鉴别依赖于对差异的认识，在教学中更应该关注联系中所包含的变异的性质，才能更适应当今社会中存在的变异性[14]。
运用变异理论，教师可以在课堂上有效地拓宽学生学习空间的变异维度，在现在高中数学教学内容多，难度大，任务中的现实情况下，可以有效地提高数学课堂效果。
3．2．2脚手架理论
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变式教学在高一数学教学中的应用
在论述脚手架理论之前，先要明确最近发展区理论。这个理论强调教学过程的实质，就是教师把学生从已达发展水平过渡到潜在发展水平的过程。那么如何实现这一理论的预计目的呢？脚手架理论正解决了这一问题。
其实，脚手架理论与过程性变式没有太多的区别，只是后者更多关注数学学习过程。一般说来，学生不能利用原来的认知结构来同化新知识，不一定是原来的认知结构没有用来同化新知识的固着点，可能是学生没有发现新知识和已有知识的内在联系[15]。老师需要在数学教学中进行变式教学，也就是作认知铺垫，使学生很轻松的接受新概念，并能独立梳理原有知识与新知识之间的内在联系，学生会对内容把握的更灵活。
3．2．3建构主义学习理论
皮亚杰的认知发展论中指出，学习要有准备的。需要学生具有相对应的逻辑思维的时候，学生才能学习到抽象的东西。建构主义学习观认为[16]：数学学习是学习者主动的构建活动，而并非是被动的接受过程，因此我们就不能奢望仅仅利用“传授”就能让学生获得真正的知识，与此相反，我们必须肯定学习过程的创造(再创造)性质以及学生的创造性才能。
教师在数学教学中，需要通过变式教学，根据新课改的教材理念，精心创设有利于学生独立探究的教学情境，培养学生独立思考的能力，在变式中发现概念的本质，进而使学生有创新意识。 3．2．4有意义学习理论
“有意义的学习” 就是说，学习者必须具有有意义学习的心向，新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在联系[17]。我们很容易知道，学生如果有学习动机是一定会促进他本身的学习的，而一旦学生认识到他们所学知识的用处也会诱发他们的学习动机。因此，在数学教学中，教师可以运用 “一法多用”等手段，给学生以新鲜感，调动学生的学习兴趣，使之更主动参与到教学中，这样会大大提升数学课堂效率。
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4 概念性变式教学
4．1 概念性变式教学的含义
学生数学学习的核心就是概念的学习，这都需要变式教学进行形成或是同化，才让学生更容易将原有的认知结构与新的认知结构联系起来[18]。高中数学中很多概念都很抽象，这会使得很多学生只是将概念熟背了下来，根本没有理解概念的内涵和外延，导致做题时发生错误。利用变式进行教学便可以让学生对概念掌握的更精准更灵活。概念性变式教学就是让学生多角度多层次的理解概念，明确概念的内涵及外延，究其本质，灵活应用。
???概念变式?概念的标准变式???概念的非标准变式??概念性变式?
??概念之间的逻辑关系??非概念变式??学生常见错误??概念的反例变式???概念变式，也可以说是“非本质属性变式”。这里还包含概念的标准变式和非标准变式两种，它们在教学中的作用是不同的，这里所说的标准与非标准很多时候也是相对而言的。例如（表4.1）
表4.1 标准和非标准变式
示例 奇偶函数的定义式 奇函数：f(?x)??f(x) 偶函数：f(?x)?f(x) 奇函数：?f(?x)?f(x) f(?x)??1(f(x)?0)f(x) 偶函数：f(?x)?f(x)?0 f(?x)?1(f(x)?0)f(x)直线表达的定义式 标准变式 y?kx?b y?y0?k(x?x.0)y?y1y1?y2?x?x1x1?x2 非 标 准 变 式 f(?x)?f(x)?0((x0,y0)为已知点) ((x1,y1),(x2,y2)为横坐标不 相同的两个点) xy??1ab(a,b分别为x轴y轴上的 截距，且a?0,b?0） ax?by?c?0作用 (a,b不同时为0） 揭示概念本质，完善学生的思维活动。 - 7 -
变式教学在高一数学教学中的应用
非概念变式，即“本质属性变式”。例如（表4.2）
表4.2 概念性和非概念性
示例 概念 概念变式 非概念变式 非概念变式 反例变式 形如 对 数 函 数 y?log2xy?log1x3y?log29xy?log3x2 y?logax 叫做对数函数。 y?log0.5xy?logax其中a?0且a?1 y?log5(?x)y?2logax(a?0且a?1)y?log1xy?log?3xy?log1xy?log?3x 作用 可以帮助学生明确概念的本质特征和概念的外延。
4．2 概念性变式的教学原则及策略
数学概念变式包括很多种变式，而学习概念要达到对概念的内化、凝聚、具体化三个阶段。高中数学概念相对会抽象难懂，这就需要教师进行数学概念变式教学，让学生摆脱一味的被动灌输，进行有意义学习，多角度多层次理解概念。
进行概念性教学的基本策略如下：
第一，教师要尽可能的应用较为直观的变式。高中数学概念基本都比较抽象，学生很难与之前已经掌握的认知建立内在的联系，这就需要变式教学。就拿高中数学空间立体几何中的二面角这一概念为例，这个概念在教学上存在极大的难点，一是空间几何对大部分学生来说就比较抽象，在直观二维上很难描绘，即使描绘出的图像学生也很难建立其立体想象。其次，二面角这一概念的本身就描述的很抽象。针对这个难点，教师在教授这个内容的时候，往往要结束变式建立概念。比如，上课的时候，老师可以就以下这些简单，具体的实例，让学生理解二面角这一概念。
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直观材料 图形变式
这里还要指出，教师在进行概念性变式教学的时候，一定要因课而异，掌握变式的度，否则为了变式而变式，效果会适得其反。
第二，教师要通过非标准变式让学生明确概念的本质。往往学生刚刚接触新的概念时，基本对概念的认识都停留在概念的表征上，稍对概念的非本质的东西做些变式，学生就弄不清楚了。这就需要教师运用非标准变式，充分给学生展示概念的其他形式，多方面的明确概念，消除学生在认知上的过于死板，培养学生创新意识。
第三，教师要通过非概念变式让学生明确概念的外延。在学习概念的时候，学生也常常会犯一些错误，究其原因就是他们没有弄清楚概念的外延。所以教师在教学中，可以进行反例变式，让学生清晰外延，划清与相近概念的界线。
棱台的概念变式 棱台的非概念变式
4．3 高一数学概念性变式的教学实例
实例一：对数运算中的换底公式的变式教学案例
在学习对数运算中的换底公式时，先要复习对数和指数之间的转换，还有关于指数，对数已经学习过的运算公式，进而引入到换底公式及公式变式。
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