变式教学在高一数学教学中的应用
7 高一数学变式教学案例分析
7.1案例1——对数函数
下面以人教B版高一必修第一册对数函数第一课时为例，进行案例分析。 教学目标
1、知识与技能：经历分析指数与对数的关系，探究指对函数的图像关系，让学生理解
对数函数概念。掌握对数函数的图象及性质，并能应用其性质解决问题。
2、数学思考：经历变式、总结对数函数图像及性质等教学活动过程，发展学生合理推
理和演绎推理能力，发展学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力。
3、解决问题目标：形成利用对数函数性质及图像解决对数函数比较大小，值域等问题
的一些基本策略。
4、情感态度与价值观：在数学活动中引导学生由指数函数的性质，启发学生从知识之
间的内在联系着手，抓住指数与对数的关系，从而培养学生的观察能力，使学生逐步养成严谨的作风，独立思考的精神。
教学重点：对数函数的概念、图象和性质； 教学难点：对数函数的性质灵活应用； 教学过程： (一)课前回顾
教师：同学们先回顾下，我要是给你一个指数，同学们能把其转化为对数形式吗？
1练习： 8?2 ， ()?2?4
21学生： log82?，log14??2
3213教师：我们再一起回顾下指数函数定义是什么？
学生：一般地，函数y?ax（a?0且a?1）的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R.
教师：那么，我们一起来回顾下指数函数图像及性质。（运用PPT）
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辽宁师范大学硕士学位论文
（二）导入新课
a>1 0
y y x 0 定义域:
. 1 R
1 0 . x 值域: ( 0 , +∞ )
( 0 , 1 ),即当 x = 0 时,y =1 过点
在R上是增函数 当 x<0时, 0 当 x>0时,y>1 在R上是减函数 当 x<0时,y>1 当 x>0时, 0 教师：请同学们回想一下我们在学习指数函数的时候，引用的细胞分裂的问题，在细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数是什么。 学生：y?2x 教师：很好，我们知道x的值就能求出y的值，这样就建立了一个细胞个数y和分裂次数x之间的函数关系式. 提问：①现在我们把问题反过来去思考，已知细胞的个数y，如何求分裂次数x呢？ 学生：x?log2y 教师：那么每输入一个y值，是否一定都唯一的得到x的值呢？ 学生：应该是唯一的，因为之前的指数形式y?2x中，每给一个x都有唯一的一个y与 之对应。 教师：这样就能确保对数式中的唯一性了吗？ 学生经过讨论得出：还要强调指数函数是单调函数，这样就可以保证对数式中的唯一性了。 【同样模式提问之前遇到过的放射性物质的问题，让学生感受到对数函数的底数不一定要大于1，明确对数函数也是根据底数分为两类】 （三）新授课 教师：我们一起来看下，x?log2y，x?log0.84y对于y 在R?内的每一个确定的值，在R内都有确定唯一的x与之对应. 那么x就是y的函数，我们就把这种新的函数叫 - 21 - 变式教学在高一数学教学中的应用 做对数函数。当然，通常我们用x表示自变量，用y表示函数值，哪位同学可以归纳下对数函数的概念呢？ 学生：形如y?logax的函数就是对数函数。 教师：有同学想进行补充的吗？ 学生没有思考方向 教师：指数形式装换到对数的时候，大家会发现什么是没有变化的吗？ 学生：底数。 教师：很好，那么对数函数对底数的限制跟指数的限制有关系吗？ 学生：形如y?logax(a?0且a?1,x?0)的函数叫做对数函数 教师：那么，同学们思考下，对数函数的定义域，值域分别是什么呢？你是怎样思考的呢？ 学生：应该是定义域是(0,??)，值域是R。通过指数与对数的转换，类比出来定义域、值域。 教学变式练习：判断下列哪个是对数函数 (1)y?log2x(2)y?log1x3是是 (3)y?log29x(4)y?log3x2(5)y?log5(?x)(6)y?2logax(a?0且a?1)(7)y?log1x(8)y?log?3x不是不是不是不是不是不是 教学活动：同学们，通过刚才指数函数的x、y和对数函数的x、y的对应关系的研究，尝试着思考、运用描点法画出y?log2x，y?log1x的图像。（提示学生画出指数函数 2?1?y?2x，y???图像，对调x、y的位置，我会演示图8.1.1和图8.1.2） ?2?x 图8.1.1 - 22 - 辽宁师范大学硕士学位论文 图8.1.2 教师：问题1：从图形中，同学们能认识到对数函数的值域是什么？问题2：同学们分析下对数函数的单调性问题。问题3：对数函数y?logax（a?0,a?1,）是否具有奇偶性，你是如何辨别的？问题4：对数函数y?logax（a?0,a?1,），当a?1时，x取何值，y?0，x取何值，y?0,当0?a?1呢？上述问题的答案又会是怎样的呢？让学生观察图像，积极思考，进而总结对数函数的图像特征和性质，必须让学生做到理解。进而完善下面教师建构的表格 a?1 y0?a?1 y(1,0) 0 x 0 (1,0) x 1、图象的位置： 在y轴的右侧； 2、图象过定点：（1，0） 3、图象向上无限延伸，向下无限接近y轴. 4、随着x增大，图象是上升的 3、图象向下无限延伸，向上无限接近y轴. 4、随着x增大，图象是下降的 5、x?1时，函数图像在x轴上方； 5、x?1时，函数图像在x轴下方； 0?x?1时，函数图像在x轴下方； 当0?x?1时，函数图像在x轴上方 定义域 值 域 单调性 奇偶性 单调递增 (0,??) R 单调递减 非奇非偶 - 23 - 变式教学在高一数学教学中的应用 （四）练习巩固 例题1 求下列函数的定义域（a?0且a?1） （1）y?logax2； （2）y?loga(4?x) 学生：（1）为了使函数有意义，所以x2>0,也就是x?0所以函数y?logax2的定义域是?x|x?0?，或记为???,0???0,??? （2）为了使函数有意义，所以4?x?0,也就是x?4,所以函数y?loga?4?x?的定义域是???,4? 变式练习：求下列函数的定义域 （1）y?log5(1?x) ?（2）y?(??,1) 1log2x?(0,1)?(1,??) 例2、（1）比较log23与log23.5的大小 （2）已知log0.7(2m)?log0.7(m?1)，求m 的取值范围。 解：（1）考察函数y?log2x，它在区间(0,??)上是增函数 因为3<3.5，所以log23?log23.5 （2）考察函数y?log0.7x，它在区间(0,??)上是减函数.因为 log0.7(2m)?log0.7(m?1)，所以2m?m?1?0 ?2m?m?1 由??m?1?0得m?1 变式练习：比较m，n的大小 （1）log0.2m?log0.2n （2）logam?logan小结： ?m?n (a?1) ?m?n 【先由学生讨论小结，比较两个同底对数值的大小时需要注意的事项，教师加以补充】 - 24 -