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综合题
一、方程求根探究 设方程4x?4x?0
1.用matlab命令求该方程的所有根；
423x3?x 2.用迭代法求它的所有根，设迭代函数为f(x)? 24x?21)验证取该迭代函数的正确性；
2)分别取初值为-1.1,-1,-0.9,?.,0.9,1,1.1,观察迭代结果，是否得到了原方程的根；
3)总结出使得迭代序列收敛到每个根时，初值的范围，比如要使迭代序列收敛到0（方程的一个根）初值应该在什么集合中选取，找出每个根的这样的初值集合。寻找的方法，可以是理论分析方法或数值实验方法。
解答：
1． 用solve命令即可求出所有解；
2． 1）提示：验证原方程与f(x)?x同解，以及验证迭代函数在不动点附
近的导数绝对值是否小于1
2）代码省略，结果：初值取-1.1，-1，-0.9,-0.8，0.7时收敛到-1，初值取-0.7,0.8,0.9，1,1.1时收敛到1，初值取-0.6，-0.5，。。。，0.5,0.6时收敛到0；
3）在(??,?22),(?21/7,21/7),(22,?)?中分别取初值，最后
分别收敛到-1,1,0；在(21/7,2/2)内有无穷多个收敛到-1的初值小开区间，也有无穷多个收敛到0的小开区间，它们相互交替着；这种状态反射到(?2/2,?21/7)内，即：在(?2/2,?21/7)内有无穷多个收敛到1的初值小开区间，也有无穷多个收敛到0的小开区间，它们也是相互交替着，这些小区间与(21/7,2/2)内小开区间对应。
二、1.三次曲线
(a)对k=0及其邻近的k的正值和负值，把f(x)?x?kx的图形画在一
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个公共屏幕上。k的值是怎样影响到图形的形状的？
(b)求f?(x)，它是一个二次函数。求该二次函数的判别式，对什么样的k值，该判别式为正？为零？为负？对什么k值f?有两个零点？一个或没有零点？现在请说明k的值对f 图形的形状有什么影响。
(c)对其他的k值做实验。当k???会发生什么情形？当k??呢？
解答：
(a)先用m文件定义函数f(x,k)=x^3+k*x
由fplot('[f(x,-0.6),f(x,-0.3),f(x,0),f(x,0.3),f(x,3)]',[-3,3]) 得下图
403020100-10-20-30-40-3-2-10123可见k值不影响凹凸性，但单调性、单调区间以及极值随k值发生改变；k在0附近，小于0时，函数在某[-a,a]区间上单调递减，该区间长度随着k值增大而减小，k大于等于0时，函数单调增加。
2(b) f?(x)?3x?k；判别式???12k，k为负、零、正时判别式分别
为正、零、负；故k<0时，f?(x)有两个零点，k=0时f?(x)有一个零点，
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k>0时f?(x)没有零点。以上说明原函数f(x)的驻点个数随着k值符号而变化，当k由负变正时，驻点由两个变成一个再到没有驻点，相应的单调区间由三个变成一个，单增单减单增，变为单增。 (c) k值越小单减区间长度越大，当k???时，f(x)单减区间变为无穷大对称区间，图形近乎垂直直线；当k??时，单增区间变为无穷大对称区间，图形近乎垂直直线。
2.四次曲线
(a)对k=-4及其邻近的k值，把f(x)?x4?kx3?6x2,?1?x?4的图形画在一个公共屏幕上。k的值是怎样影响到图形的形状的？
(b)求f??(x)，它是一个二次函数。求该二次函数的判别式，对什么样的k值，该判别式为正？为零？为负？对什么k值f??有两个零点？一个或没有零点？现在请说明k的值对f 图形的形状有什么影响。
解答：
(a)先用m文件定义函数f(x,k)=x^4+k*x^3+6*x^2
fplot('[f(x,-4.2),f(x,-5),f(x,-4.5),f(x,-4),f(x,-3.5),f(x,-2.5)]',[-1,4]) 得图
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200150100500-50-1-0.500.511.522.533.54
由图可以看出，在x<1时，图形受k值影响不大，x>1时k值对图形的影响比较显著，通过改变k值画图发现：在-4附近，k小于-4时，曲线在某[a,b](a>0)区间内是上凸的，在其他区间内上凹；k大于-4时，上面的凸区间不存在，也就是曲线总是上凹的。
(b) f??(x)?12x?6kx?12，判别式??36k?576?36(k?4)，当k??4时，判别式为0，|k|?4时判别式大于0，|k|?4时判别式小于0；也就是|k|?4时f??(x)有两个零点，k??4时f??(x)有一个零点
2222|k|?4时f??(x)没有零点。由二阶导数与凹凸性的关系可知，在k=-4附近，
（a）中关于曲线凹凸的判断基本上是正确的
三、对于级数
1，通过下面的步骤探索它的行为 ?32nsinnn?11，当你试图求limsk时，发生了什?32k??n?1nsinn数学实验实验报告
k?1. 对于其部分和数列sk?49
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么？
解答：用命令sk=symsum(1/n^3/(sin(n))^2,1,k)及limit(sk,k,inf)得不到结果，命令symsum(1/n^3/(sin(n))^2,1,inf)也得不到结果。这表明极限可能并不存在。
2. 画出部分和数列的前100个点(k,sk)，它们是否显示出收敛？你估计
极限是多少？
解答：前100个点(k,sk)图形如下
54.543.532.521.510102030405060708090100
上图似乎显示着sk的极限存在，并且极限值约为4.8左右
3. 接着画出部分和数列的前200个点(k,sk)，用你自己的话论述部分和
数列的行为。
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