专业 姓名 学号 成绩
a=64,b=510,c=514 a=68,b=576,c=580 a=72,b=646,c=650 a=76,b=720,c=724 a=80,b=798,c=802 a=84,b=880,c=884 a=88,b=966,c=970
（2）c?b?5时通项：{a,b,c}?{5(2u?1),5(2u2?2u),5(2u2?2u?1)} a=15,b=20,c=25 a=25,b=60,c=65 a=35,b=120,c=125 a=45,b=200,c=205 a=55,b=300,c=305 a=65,b=420,c=425 a=75,b=560,c=565 a=85,b=720,c=725 a=95,b=900,c=905
（3）c?b?6时通项{a,b,c}?{6(u?1),3(u?2u),3(u?2u?2)} a=12,b=9,c=15 a=18,b=24,c=30 a=24,b=45,c=51 a=30,b=72,c=78 a=36,b=105,c=111 a=42,b=144,c=150 a=48,b=189,c=195 a=54,b=240,c=246 a=60,b=297,c=303 a=66,b=360,c=366 a=72,b=429,c=435
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22专业 姓名 学号 成绩
a=78,b=504,c=510 a=84,b=585,c=591 a=90,b=672,c=678 a=96,b=765,c=771 a=102,b=864,c=870 a=108,b=969,c=975
（4）c?b?7时通项{a,b,c}?{7(2u?1),7(2u2?2u),7(2u2?2u?1)} a=21,b=28,c=35 a=35,b=84,c=91 a=49,b=168,c=175 a=63,b=280,c=287 a=77,b=420,c=427 a=91,b=588,c=595 a=105,b=784,c=791 综
上
：
当
c-b=k
为
奇
数
时
，
通
项
{a,b,c}?{k(2u?1),k(2u2?2u),k(2u2?2u?1)}
当
c-b=k
为
偶
数
时
，
通
项
{a,b,c}?{k(u?1),k(u2?2u)/2,k(u2?2u?2)/2}
4.3 对c?1000，c?b?k（k?200），对哪些k存在本原勾股数？（140页练习12）
程序：for k=1:200 for b=1:999
a=sqrt((b+k)^2-b^2);
if((a==floor(a))&gcd(gcd(a,b),(b+k))==1) fprintf('%i,',k); break; end end end
运行结果：1,2,8,9,18,25,32,49,50,72,81,98,121,128,162,169,200,
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4.4 设方程(11.15)的解构成数列{pn},{qn},观察数列{pn},{qn},
{pn?qn},{pn?2qn},{pn?qn}.你能得到哪些等式？试根据这些等式
推导出关于pn,qn的递推关系式. （142页练习20）
解：1000以内解构成的数列 {pn},{qn}, {pn?qn}, {pn?2qn},
{pn?qn}如下：
n 1 2 3 4 5 6
pn 2 7 26 97 362 1351
qn 1 4 15 56 209 780
pn?qn 3 11 41 153 571 2131
pn?2qn 4 15 56 209 780 2911
pn?qn 1 3 11 41 153 571
我们发现这些解的关系似乎是：
pn?1?qn?1=pn?qn
qn=pn?1?2qn?1
因为qn=pn?1?2qn?1，所以qn?pn?1?qn?1?qn?pn?1?2qn?1。有以下结论：
??pn?2pn?1?3qn?1?qn?p （4.1） n?1?2qn?1可以看成一个线性映射,令
X???23??n?(xn,yn)T,A?12???
（4.1）可写成：Xn?AXn?1
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4.5 选取100m对随机的a,b，根据(a,b)?1的概率求出?的近似值。（取自130页练习7）
提示：(1)最大公约数的命令:gcd(a,b)
(2)randint(1,1,[u,v])产生一个在[u,v]区间上的随机整数 程序：
m=10000;s=0; for i=1:m
a=randint(1,2,[1,10^9]); if gcd(a(1),a(2))==1; s=s+1; end end
pi=sqrt(6*m/s) 运行结果： pi =
3.1510
4.6 用求定积分的Monte Carlo法近似计算?。（102页练习16） 提示：Monte Carlo法近似计算?的一个例子。
对于第一象限的正方形0?x?1,0?y?1,内画出四分之一个圆
1 0.80.60.40.20.20.40.60.8向该正方形区域内随即投点,则点落在扇形区域内的概率为投n次点,落在扇形内的次数为nc,则
?. 4nc?4nc?,因此??. n4n数学实验实验报告
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程序如下
n=100000;nc=0; for i=1:n
x=rand;y=rand; if(x^2+y^2<=1) nc=nc+1; end end
pi=4*nc/n 解：程序：
a=0;b=1;m=1000; H=1;s=0; for i=1:m
xi=rand(); yi=H*rand(); if yi pi=4*H*(b-a)*s/m 运行结果： pi = 3.1480 45 数学实验实验报告