专业 姓名 学号 成绩
P(:,i+1)=A2*P(:,i); end P P =
Columns 1 through 14
0.5000 0.5625 0.5938 0.6035 0.6069 0.6085 0.6086 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087
0.2500 0.2500 0.2266 0.2207 0.2185 0.2175 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174
0.2500 0.1875 0.1797 0.1758 0.1746 0.1740 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739
Columns 15 through 21
0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087
0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174
0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739
结论：9天后，天气状态趋于稳定P*=（0.6087,0.2174,0.1739）T
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0.6081 0.6087 0.2178 0.2174 0.1741 0.1739 0.6087 0.2174 0.1739 专业 姓名 学号 成绩
3.7 对于问题2，求出矩阵A2的特征值与特征向量，并将特征向量与上一题中的结论作对比. （122页练习14） >> [P,D]=eig(A2) P =
-0.9094 -0.8069 0.3437 -0.3248 0.5116 -0.8133 -0.2598 0.2953 0.4695 D =
1.0000 0 0 0 0.3415 0 0 0 -0.0915
分析：事实上，q=k(-0.9094, -0.3248, -0.2598)T均为特征向量，而上题中P*的3个分量之和为1，可令k(-0.9094, -0.3248, -0.2598)T=1，得k=-0.6696.有q=(0.6087, 0.2174, 0.1739),与P*一致。
3.8 对问题1，设p1,p2为A1的两个线性无关的特征向量，若
11p(0)?(,)T，具体求出上述的u,v，将p(0)表示成p1,p2的线性组合，
22求p(k)(k)的具体表达式，并求k??时p的极限，与已知结论作比较.
（123页练习16）
>> A=[3/4,7/18;1/4,11/18]; [P,D]=eig(A); syms k pk;
a=solve(‘u*P(1,1)+v*P(1,2)-1/2’,’u*P(2,1)+v*P(2,2)-1/2’,’u’,’v’); pk=a.u*D(1,1).^k*P(:,1)+a.v*D(2,2).^k*P(:,2)
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pk =
-5/46*(13/36)^k+14/23 5/46*(13/36)^k+9/23 或者：
p0=[1/2;1/2];
[P,D]=eig(sym(A)); B=inv(sym(P))*p0 B = 5/46 9/23 syms k
pk=B(1,1)*D(1,1).^k*P(:,1)+B(2,1)*D(2,2).^k*P(:,2) pk =
-5/46*(13/36)^k+14/23 5/46*(13/36)^k+9/23 >> vpa(limit(pk,k,100),10) ans =
.6086956522 .3913043478
结论：和用练习12中用迭代的方法求得的结果是一样的。
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第四次练习
教学要求：会利用软件求勾股数，并且能够分析勾股数之间的关系。会解简单的近似计算问题。
4.1 求满足c?b?2，c?1000的所有勾股数，能否类似于（11.8），把它们用一个公式表示出来？ 程序：for b=1:998
a=sqrt((b+2)^2-b^2); if(a==floor(a))
fprintf('a=%i,b=%i,c=%i\\n',a,b,b+2) end end
运行结果： a=4,b=3,c=5 a=6,b=8,c=10 a=8,b=15,c=17 a=10,b=24,c=26 a=12,b=35,c=37 a=14,b=48,c=50 a=16,b=63,c=65 a=18,b=80,c=82 a=20,b=99,c=101 a=22,b=120,c=122 a=24,b=143,c=145 a=26,b=168,c=170 a=28,b=195,c=197 a=30,b=224,c=226 a=32,b=255,c=257 a=34,b=288,c=290 a=36,b=323,c=325 a=38,b=360,c=362 a=40,b=399,c=401 a=42,b=440,c=442 a=44,b=483,c=485 a=46,b=528,c=530 a=48,b=575,c=577 a=50,b=624,c=626 a=52,b=675,c=677 a=54,b=728,c=730
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a=56,b=783,c=785 a=58,b=840,c=842 a=60,b=899,c=901 a=62,b=960,c=962
勾股数c?b?2，c?1000的解是：
{a,b,c}?{2(u?1),u2?2u,u2?2u?2}
以下是推导过程：
由a2?b2?(b?2)2，有a?4b?4
显然4(4b?4)，4a2，从而a是2的倍数.设a?2(u?1)，代入上式得到：
2b?u2?2u
2因为c?b?2，从而c?u?2u?2.
4.2 将上一题中c?b?2改为c?b?4,5,6,7,分别找出所有的勾股数.将它们与c?b?1,2时的结果进行比较，然后用公式表达其结果。 （1）c?b?4时通项：{a,b,c}?{4(u?1),2(u2?2u),2(u2?2u?2)} a=8,b=6,c=10 a=12,b=16,c=20 a=16,b=30,c=34 a=20,b=48,c=52 a=24,b=70,c=74 a=28,b=96,c=100 a=32,b=126,c=130 a=36,b=160,c=164 a=40,b=198,c=202 a=44,b=240,c=244 a=48,b=286,c=290 a=52,b=336,c=340 a=56,b=390,c=394 a=60,b=448,c=452
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