专业 姓名 学号 成绩
89,10000 90,0.0002 91,10000 92,0.0002 93,10000 94,0.0002 95,10000 96,0.0002 97,10000 98,0.0002 99,10000 100,0.0002
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第三次练习
教学要求：理解线性映射的思想，会用线性映射和特征值的思想方法解决诸如天气等实际问题。 3.1 对A????42?(0)(0)TT，，求出{xn}的通项. (x,x)?(1,2)?12?13??程序：
A=sym('[4,2;1,3]'); [P,D]=eig(A) Q=inv(P) syms n; xn=P*(D.^n)*Q*[1;2] 结果： P =
[ 2, -1] [ 1, 1] D = [ 5, 0] [ 0, 2] Q =
[ 1/3, 1/3] [ -1/3, 2/3] xn =
2*5^n-2^n 5^n+2^n 3.2 B??0.40.2?1(0)(0)TT对于练习1中的，，(x,x)?(1,2)A???B12??10?0.10.3?求出{xn}的通项. 程序：
A=sym('[2/5,1/5;1/10,3/10]'); %没有sym下面的矩阵就会显示为小数 [P,D]=eig(A)
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Q=inv(P)
xn=P*(D.^n)*Q*[1;2] 结果： P = [ 2, -1] [ 1, 1] D = [ 1/2, 0] [ 0, 1/5] Q =
[ 1/3, 1/3] [ -1/3, 2/3] xn =
2*(1/2)^n-(1/5)^n (1/2)^n+(1/5)^n
(n)x23.3 对随机给出的(x,x)，观察数列{(n)}.该数列有极限吗?
x1(0)1(0)T2>> A=[4,2;1,3]; a=[];
x=2*rand(2,1)-1; for i=1:20
a(i,1:2)=x;
x=A*x; end for i=1:20
if a(i,1)==0
else t=a(i,2)/a(i,1);
fprintf('%g,%g\\n',i,t); end
end
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(n)x2结论：在迭代18次后，发现数列{(n)}存在极限为0.5
x1
3.4 对120页中的例子，继续计算xn,yn(n?1,2,?).观察{xn},{yn}及
m(xn)的极限是否存在. （120页练习9）
>> A=[2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0]; x0=[1;2;3;4]; x=A*x0; for i=1:1:100 a=max(x); b=min(x); m=a*(abs(a)>abs(b))+b*(abs(a)<=abs(b)); y=x/m; x=A*y; end
x %也可以用fprintf(‘%g\\n’,x1)，不能把x1,y一起输出 y m
程序输出： x1 =
0.9819 3.2889 -1.2890 -11.2213 y =
-0.0875 -0.2931 0.1149
1.0000 m =
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-11.2213
结论：{xn},{yn}及m(xn)的极限都存在.
3.5 求出A的所有特征值与特征向量，并与上一题的结论作对比. （121页练习10）
>> A=[2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0]; [P,D]=eig(A) P =
-0.3779 -0.8848 -0.0832 -0.3908 -0.5367 0.3575 -0.2786 0.4777 -0.6473 0.2988 0.1092 -0.7442 -0.3874 -0.0015 0.9505 0.2555 D =
7.2300 0 0 0 0 1.1352 0 0 0 0 -11.2213 0 0 0 0 -5.8439
结论：A的绝对值最大特征值等于上面的m(xn)的极限相等，为什么呢？ 还有，P的第三列也就是-11.2213对应的特征向量和上题求解到的y也有系数关系，两者都是-11.2213的特征向量。 3.6 设p(0)?(0.5,0.25,0.25)T，对问题2求出若干天之后的天气状态，并
找出其特点（取4位有效数字）. （122页练习12） >> A2=[3/4,1/2,1/4;1/8,1/4,1/2;1/8,1/4,1/4]; P=[0.5;0.25;0.25]; for i=1:1:20
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