第七章
教学目的及要求：
样条逼近方法
掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。
借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一点附近的性质足以决定它的整体性质。然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。亦即在不同区域中，它们的性状可以完全不相关。另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有n个插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式，它可能有n-3个拐点。这对于比较平滑的函数来说就不是那么理想了。
本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某中连接性质。因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了相对独立的局部性质。数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。
§1. 样条函数及其基本性质
设给定一组结点
???x0?x1???xN?xN?1?? （1.1） 又设分段函数S(x)满足条件： 1．
于每个区间xj,xj?1(j?0,?,N)上，S(x)是一个次数不超过n的实系数代数多项式；
2．
S(x)于(??,?)上具有一直到n-1阶的连续导数。
?? 则称y?S(x)为n次样条函数。常把以（1.1）为结点的n次样条函数的总体记为
Sn(x1,x2?,xN).x1,?,xN称为样条结点。
一个（奇次）2n-1次样条函数y?S(x)，如果起在区间(??,x1]与[xN,?)上的表达式都是n-1次多项式（并不要求该两个n-1次多项式相同），则特别称之为2n-1次的自然样条函数。以（1.1）为结点的2n-1次自然样条函数的总体记为
N2n?1(x1,x2?,xN).显然
N2n?1(x1,x2?,xN)?S2n?1(x1,x2?,xN). （1.2） 下面来给出样条函数类S2n?1(x1,x2?,xN)中任一样条函数的一般表达式。 对于任意给定的以（1.1）为结点的n次样条函数S(x)?S2n?1(x1,x2?,xN),根据定义，其在每个子区间xj,xj?1(j?0,?,N)上均为一n次多项式。特别地，于子区间
??(??,x1]内是一n次多项式。不妨设该多项式为pn(x)?Pn。
今考虑S(x)于?x1,x2?上的表达式。由定义，S(x)于?x1,x2?上的表达式仍为一个n次多项式。若设该n次多项式为qn(x)，并考虑下述n次多项式的性质：
?(x)?qn(x)?pn(x).
按n次样条函数的定义，pn(x)与qn(x)于点x?x1处的值以及1阶、2阶、一直到n-1阶导数值皆相等：
pn(x1)?qn(x1)(i?0,?,n?1), 亦即
?(i)(x1)?0(i?0,?,n?1).
是故x?x1是?(x)含(x?x1)n这个因子。由于?(x)是一n次多项式，所以存在某常数c1使得
?(x)?c1(x?x1)n, （1.3） 亦即
qn(x)?pn(x)?c1(x?x1)n. （1.4）
(i)(i)它说明S(x)于区间?x1,x2?上的表达式恰为其前一区间上的表达式加上(x?x1)n的某一常数倍。这样一来，S(x)于(??,x2]上的统一表达式应为
pn(x),???x?x1,? S(x)?? np(x)?c(x?x),x?x?x.1112?n（1.5）
为把（1.5）写成一个统一的表达式，引入记号
?x,x?0,x??max0,(x)?? ?0,x?0. （1.6）
mx??(x?)m,则（1.5）所示的S(x)又可紧凑地表示为
S(x)?pn(x)?c1(x?x1)n?(???x?x2).
继续采用这种分析方法，可得S(x)于整个实轴上的表达式为
S(x)?pn(x)?c1(x?x1)n?(???x?x2).（1.7）
此即为下述定理所叙述的事实。
定理 1 任一S(x)?Sn(x1,x2,?,xN)均可唯一地表现为
S(x)?pn(x)??cj(x?xj)n, （1.8） ?(???x??)j?1N其中pn(x)?Pn,cj(j?1,?,N)为实数。
显然，由（1.8）式所给出的任一函数S(x)必然满足n次样条函数的定义，亦即
S(x)?Sn(x1,x2,?,xN).因而定理1可进一步写成
定理 2 为使S(x)?Sn(x1,x2,?,xN)，必须且只须存在pn(x)?Pn和N个实数
c1,c2,?,cN，使得（1.8）成立：
S(x)?pn(x)??cj(x?xj)n?(???x??)j?1N
定理1和定理2说明函数系
n 1,x,x2,?,xn,(x?x1)n?,?,(x?xN)? （1.9）
构成n次样条函数类Sn(x1,x2,?,xN)的一组基底。
由（1.2）和定理2可知，任一S(x)?N2n?1(x1,x2,?,xN)均可表示为
n?1 S(x)?pn?1(x)??cj(x?xj)2(???x??)?j?1N （1.10）
其中pn?1(x)?Pn?1.
当然，一函数S(x)只是满足（1.10）还不足以保证它一定是一个自然样条函数。因为它在[xN,?)上是否为一个n-1次的多项式尚不能保证，为保证这点，便须要求S(x)于[xN,?)中的表达式
n?1 pn?1(x)??cj(x?xj)2?j?1N
亦为一n-1次多项式。即要求上述求和号这一项中n次以上的各方幂项之系数为0。但
?cj?1NN2n?1j(x?xj)2n?1?2n?1?i2n?1?i???cj??x(?x)j?i?j?1i?0??2n?12n?1??iN2n?1?i????i??x?cj(?xj)i?0??j?1?2n?1?iN2n?1?i??(?1)?.?i??x?cjxji?0??j?12n?1i?1
要求上式中xn,?,x2n?1的系数为0，即得
?cj?1Njxk(k?0,1,?,n?1). （1.11） j?0定理 3 为使S(x)?N2n?1(x1,x2,?,xN)，必须且只须存在pn?1(x)?Pn?1和满足线性约束（1.11）的实数c1,c2,?,cN，使得
n?1 S(x)?pn?1(x)??cj(x?xj)2(???x??)?j?1N （1.12）
下面讨论样条函数的积分关系式。先给出
定理 4 设S(x)由（1.8）所给出，其中n=2k-1,且
a?x1?x2???xN?b. （1.13） 又设f(x)满足下述三性质：
1． f(x)?Ck?1?a,b?且f(k)(x)于每个开区间(xi,xi?1)(i?0,?,N)(x0?a,xN?1?b)内连续；
2. f(k?r?1)(x)S(k?r)(x)?0(r?0,1,?,k?2;x?a,b); 3. f(a)S(2k?1)(a?0)?f(b)S(2k?1)(b?0),则
?baf(k)(x)S(k)(x)dx?(?1)(2k?1)!?cif(xi). （1.14）
ki?1N 证明 逐次采用分部积分法，有
?baf(k)(x)S(k)(x)dxk?2r?0 ??(?1)rf(k?r?1)(b)S(k?r)(b)?f(k?r?1)(a)S(k?r)(a) （1.15）
???(?1)k?1?baf'(x)S(2k?1)(x)dx.按条件2，上式右端的求和项等于0。因为S(2k?1)(x)是一个阶梯函数，所以（1.15）右端积分可表为下面积分的和
?i?xi?1xif'(x)dx??i?f(xi?1)?f(xi)?, （1.16）
其中?i是S(2k?1)(x)于(xi,xi?1)中的值（为常数）。将（1.16）右端部分对I求和并重新整理项，给出
?f(x)?Sii?1N(2k?1)(xi?0)?S(2k?1)(xi?0)?f(b)S(2k?1)(b?0)?f(a)S(2k?1)(a?0).
? （1.17）