按条件3，上式后两项为0。又由（1.8）逐项微分可知
S(2k?1)(xi?0)?S(2k?1)(xi?0)?(2k?1)!ci(i?1,2,?,N). （1.18）
综合（1.15）---（1.18），即得
?baf(k)(x)S(k)(x)dxba?(?1)k?1?f'(x)S(2k?1)(x)dx??f(xi)S(2k?1)(xi?0)?S(2k?1)(xi?0)i?1N??
?(?1)(2k?1)!?cif(xi).ki?1N定理证毕。
推论 1 若在定理4的条件外，再设f(x)于x1,?,xN处皆为0，则
?且
设
baf(k)(x)S(k)(x)dx?0.
推论 2 设样条结点由（1.13）给出，S(x)为由（1.10）给出的自然样条函数（n>1）,
f(x)?Cn?1?a,b?,f(n)(x)于每个区间
(xi,xi?1)内连续
(i?0,?,N)(x0?a,xN?1?b)，则
?baf(n)(x)S(n)(x)dx?(?1)(2n?1)!?cif(xi).
ni?1N若还有f(xi)?0(i?0,?,N)，则
?baf(n)(x)S(n)(x)dx?0.
证明 因为S(x)?N2n?1(x1,x2,?,xN)，从而S(n)(x)??n?1(x1,x2,?,xN)且
S(n)(x)?0,x?x1和x?xN
对于自然样条函数插值的存在、唯一性，有下面的定理：
定理5 设1?n?N，则对任意给定的y1,y2,?,yN，存在唯一的自然样条函数
S(x)?N2n?1(x1,x2,?,xN)，使得
S(x)?yj(j?1,2,?,N). （1.19）
证明 由定理3，为证本定理，只须证明线性方程组
pn?1(xj)??ci(xj?xi)2n?1?yj(j?1,?,N),
i?1N?cxii?1N （1.20）
ki?0(k?0,?,N)对任意给定的y1,y2,?,yN皆有唯一解。由线性代数理论，只须证明与（1.20）相应的齐次线性方程只有零解即可。设
S0(x)?N2n?1(x1,x2,?,xN) 且满足
S0(xj)?0(j?1,?,N), （1.21）
即设S0(x)相应表达式（见（1.12））系数满足与（1.20）相对应的齐次方程。考虑
(n) ?(S0)??S0(x)dx,
ab??2其中?a,b?满足（1.13）式。于推论2中，取f(x)?S(x)?S0(x)，并利用（1.21）可知
(n) ?(S0)??S0(x)dx?0,
ab??2于是
(n) S0(x)?0(a?x?b).
由此可知S0(x)是一个次数不超过n-1的多项式。
又由（1.21），S0(x)竟然于N(?n)个互异点处为0，是故 S0(x)?0. 定理证毕。
定理5从理论上指明了自然样条函数插值的存在唯一性。这不仅有重大的理论意义，而且在实际计算中有一定的知道意义。
下面介绍自然样条函数插值的所谓最光滑性质，它是首先由J。C。Holladay于
1957年给出的。
定理
6
设
1?n?N，且
a?x1?x2???xN?b.又设
S0(x)?N2n?1(x1,x2,?,xN)是满足插值条件
S(xj)?yj(j?1,?,N) （1.22）
的自然样条函数，则对任何满足（1.22）的函数f(x)?Cn?a,b?：
f(xj)?yj必有
(j?1,?,N)
??Sba(n)(x)??f(n)(x)dx. （1.23）
a?2b??2且等号仅当f(x)?S(x)时才成立。 证明 根据自然样条函数的定义，
S(n)(x)?0,x?x1或x?xN
为证（1.23），只须证明 显然
??SxNx1(n)(n)(x)dx???2xNx1?f(n)(x)dx
?2??fxNx1(x)dx(x)dx???2 ??xNx1?S(n)?2xNx1?f(n)(x)?S(n)(x)dx?
?22?S(n)(x)f(n)(x)?S(n)(x)dx.x1xN??2对上述右端第三个积分作分部积分，得
2(?1)n?1??j?1N?1xj?1xjS(2n?1)(x)f'(x)?S'(x)dx
??按自然样条函数的定义，S(2n?1)(x)于每个区间(xj,xj?1)内为常数，而按插值条件，
f(x)?S(x)又在该区间的两端xj与xj?1处为0。所以上述积分为0，即
??fxNx1(n)(x)dx???2xNx1?S(n)(x)dx???2xNx1?f(n)(x)?S(n)(x)dx. （1.24）
?2从而不等式（1.23）成立。
最后，若设（1.23）中的等号成立，则（1.24）可知 f(n)(x)?S(n)(x)?0(x1?x?xN).
从而f(x)?S(x)?Pn?1为一n-1次多项式。又由f(x)及S(x)所满足的插值条件，这个n-1次多项式于N(?n)个互异点处为0，于是其必恒为0，即f(x)?S(x).定理6证毕。
若于定理6中取n=2，则（1.23）成为
??Sba‘’(x)??f‘’(x)dx. （1.25）
a?2b??2我们知道，一个函数当其一阶导数较小时，其二阶导数与其曲率值是很接近的
y''???y''(1?y')32.
而曲率小，在几何上理解为“平滑”当然是很自然的，因此常称自然样条函插值是最光滑曲线插值。
下面给出在理论和应用中都十分有用的Peano定理。 设L表示对任意f(x)?Cn?a,b?定义的线性算子 L(f)???fr?oanb(r)2(x)d?r(x),
（1.26）
其中 ?r(x)是有界变差函数。
定理7（Peano） 设对一切n次多项式p(x)?Pn，均有L(p)?0，则对所有
f(x)?Cn?1?a,b?，L(f)恒可表现为 L(f)???fr?oanb(n?1)(t)K(t)dt,
（1.27）
其中，
K(t)?1Lx(x?t)n?, n!??nLx(x?t)n?表示视其中(x?t)?为x的函数而被L作用后得到的结果。
??证明 按带余项的Taylor公式
f(x)??r?0nf(r)(a)(x?a)r1x??fr!n!a(n?1) (t)(x?t)ndt, （1.28）
因为
1xfn!?a(n?1)1b(t)(x?t)dt??fn!an(n?1)(t)(x?t)n?dt.
又根据L(p)?0，p(x)?Pn，若以L作用于（1.28）等式两边，可得到
L(f)?1b(n?1)L?f(t)(x?t)n?dt. an!按定理假设条件，上述积分可以换序而成为 L(f)?定理证毕。
函数K(t)?1Lx(x?t)n?称为泛函L的Peano核。 n!1bf?an!(n?1)(t)Lx(x?t)n?dt.
????推论3 除定理7的假设外，若核K(t)于?a,b?不变号，则对一切f(x)?Cn?1?a,b?，均有
f(n?1)(?)L(f)?L(xn?1)(a???b). （1.29）
(n?1)!事实上，对（1.27）右端应用第一积分中值定理，则有
L(f)?f(n?1)(?)?K(t)dt. （1.30）
ab特别地，若对于上式中取f(x)?xn?1，可知 L(xn?1)?(n?1)!?K(t)dtab
将之代入（1.30）即得（1.29）。