下面讨论样条函数的插值问题：给定点
?1??2????N?n?1， （1.31）
试问对于任意给定的一组实数y1,y2,?,yN?n?1，是否存在唯一的一个n次样条函数S(x)?Sn(x1,x2,?,xN),使得
S(?j)?yj定理8 对于k?0，行列式
(?1?x1)k?k(?2?x1)??(?m?x1)k?(?1?x2)k?(?1?xm)k??k(?2?x2)??(?2?xm)k??(?m?x2)k???(?m?xm)k?(j?1,2,?,N?n?1) （1.32）
(?i?xj)k???0，
（1.33）
必须且只须下述不等式均满足： ?i?k?1?xi??i(i?1,2,?,N). （1.34）
证明 对k进行归纳。当k=1时，按截断多项式的定义和行列式的运算规律即可知（1.33）和（1.34）的等价性。
k 今假定定理8对行列式(?i?xj)k?已经建立，而来证明对(?i?xj)?也成立。
这必须用到恒等式
(?i?xj)k??（1.35）
a?t1?t2???tN?10k?1?(??t)(t?x)ip?qj?dt1?dtN. ??tr?空间区域内显然为使(?i?xj)k?为正的，当且仅当与具正测度的?k?1(?i?tp)0同取正值才可能。而由归纳法假定，为使这两行列式是正的，?,(tq?xj)?仅当下式成立：
?j?1?tj??j?j?k?xj?tj(j?1,2,?,N),(j?1,2,?,N),
即 ?j?k?1?xj??j由归纳法即知定理8成立。
(j?1,2,?,N).
定理8是一条十分有用的定理。利用它，就不难解决一般样条函数的插值问题（1.32）了。
定理9 对任意给定的y1,y2,?,yN?n?1，插值问题（1.32）均有解，必须且只须 ?i?xi??i?n?1(i?1,2,?,N). （1.36） 并且在这种情况下（1.32）的解还是唯一的。
由定理8并注意在区间??1,?n?N?1?内，S(x)可表示为
n?N?1
?aj?1j(x??j)n?，
此处?1??2????n?1??1且?n?j?1?xj。因为插值问题（1.32）是一个线性代数方程组，它对任意?yj?都有唯一解，必须且只须其相应系数行列式不等于0。于是由定理8可知，为使对任意给定的一组y1,y2,?,yN?n?1，插值问题（1.32）均有解，必须且只须（1.34）形不等式成立。再由?n?j?1?xj等关系式，可知此时必须且只须（1.36）成立。定理9得证。
定理9从理论上完全解决了n次样条函数的插值问题解的存在性与唯一性问题。无论在理论或实际应用上，它都有重要的指导意义。
推论4 给定插值结点?1??2????m,考虑具有N个样条结点的n=m-N-1次样条函数，其N个样条结点取自?2,?,?m?1之内。则对任何一组y1,y2,?,ym,插值问题（1.32）皆有唯一解。
事实上，在上述推论的前提下，条件（1.36）是自然满足的。
§2.
—样条及其性质
设??x?2?x?1?x0?x1???x??? （2.1）
x????(????)，n为整数。
定义 Mn(x)?Mn(x;x0,x1,?,xn) （2.2）
视其中x为参数，把Mn(x;y)作为y的函数，考虑其于y?x0,x1,?,xn处的n阶差商
Mn(x)?Mn(x;x0,x1,?,xn)：
Mn(x)?Mn(x;x0,x1,?,xn)?1n(x??x)n???,'?(x?)??0n （2.3）
其中?(x)?(x?x0)?(x1?xn).
显然Mn(x)是一个以x0,?,xn为结点的n-1次样条函数。并且按截断多项式的定义，当x?xn时，Mn(x)?0；又当x?x0时，（2.3）式右端中的截断号“+”可以去掉，而使Mn(x)是一个n-1次多项式的n阶差商。于是由差商的性质可知，此时也有
Mn(x)?0。总之
Mn(x)?0,当x??x0,xn?. （2.4）
由Peano定理，若 f(x)?Cn，则 f(x0,x1,?,xn)?1xn(n)M(x;x,x,?,x)f(x)dx. （2.5） n01nn!?x0特别地，若取f(x)?xn，则可由上式推知
????Mn(x;x0,x1,?,xn)dx?1. （2.6）
(?)定理10 Mn(x)(??0,?,n?2)于(x0,xn)内恰有?个不同的零点。特别的，
有
Mn(x)?0,当x?(x0,xn).
因而于区间(xn?1,xn)内，Mn(x)?0。从而可以找到三个点x0?x*?xn，使Mn(x)于
**其上的符号依次为0,?,0；由中值定理，又可以找到四个点x0?x1使Mn(x)?x2?xn，
'于其上的符号依次为0,?,?,0（变号一次）；……最后，我们可以找到n+1个点
x0?x1?x2???xn?1?xn，使Mn(n?2)(x)于其上的符号依次为0,?,?,?,?,?,0（变
号n-2次）。另一方面，由（2.3）式 Mn(n?2)(x)?(?1)n?2n!?(x??x)? '??0?(x?)n是一条以x?x0,x1,?,xn为顶点横坐标的折线。该折线在两端点处y=0。而且
(n?2)(n?2)Mn(x?)(??1,?,n?1)不等于0且交错。从而Mn(x?)恰好于(x0,xn)内有n-2个
单根。
(?)因为Mn(x)于(x0,xn)内至少有?个互异的根，若它的根多于n个（重数计算在(n?2)内），则按Rolle定理可知Mn。但这是不可能的，(x?)的根多于n-2个（包括重数）
定理证毕。
由（2.3）给出的Mn(x)称为B—样条函数。
对于等距离结点情况，Schoenberg(1946)还给出了B—样条函数的差分表达式。对于以1为步长的等距离结点情况，他给出
1Mn(x)?2??2sin(u2)?iux?edu????u?? （2.7）
1n??nx?,(n?1)!?n
其中?n表示n阶中心差分。
Mn(x)的显示表达式为
(n?1)!Mn(x)0,若x??n2,??n?1nnn???x?,若??x???1,???222???n?1n?1n??nnnn??????x??????x??1?,若??1?x???2,????2?2?22?1??? ???????????n?1n?1?n??n?n????x?????x??1???????2?2???1???n?1?n?nnn?1?n???（?1）?x??1,若?1?x??,?????1?2?22?????nnn?1?x?0,若?x.?2?特别地，
0,?? M1(x)??1,?0,?当x??12,当?12?x?12,
当12?x,此处还须加上M1(?12)?12的要求。
??? M2(x)?????
0,x?1,?x?1,0,当x??1当?1?x?0,当0?x?1, 当1?x,????? M3(x)???????
0,当x??3213(x?)2,当?32?x??12,221331(x?)2?(x?)2,当?12?x?12, 222213(?x?)2,当12?x?32,220,当32?x