?ij上的点数无穷多，根据本讲义第三章引述过的Bezout定理,lij?x,y?与
??x,y?必有公共因子.但lij?x,y?为不可约多项式,所以它必为??x,y?的因子即
存在一个次数不超过k-d的多项式（按Bezout定理，它一般为复系数多 项式q1?x,y?使得
??x,y??pi?x,y??pj?x,y??lij?x,y??q1?x,y?
由于??x,y?与lij?x,y?为实系数多项式，只须于上式两边取共轭复数，即可指 明q1?x,y?必亦为实系数多项式.
若取??1.根据??x,y?于?ij上1阶偏导数处处为零的性质可知
?lij??q1 ???xlij?q1??x??lij??q1 ???ylij?q1??y?因为lij为不可约多项式，
?lij???????q1??x??ij??lij???????q1??y??ij?????0 ??ij????0 ??ij?lij?x在?ij上不能处处为零.不然的话，按Bezout定理，
?lij/?x与lij必有共因子存在.但?lij/?x次数低于lij的次数，因此势必?lij/?x
要除得尽lij，这与lij不可约性相矛盾.总之，由前两式只能推出q1?x,y?在?ij上 处处为0.再一次运用Bezout定理，知存在q2?Pk?2d，使得
q1?x,y??lij?x,y??q2?x,y?
是故
??x,y??pi?x,y??pj?x,y???lij?x,y??2?q2?x,y?
依次类推，根据s?x,y?于Di最后可得（4.1）式.
?Dj上的2阶，3阶，…?阶偏导数的连续性，
反之，如果（4.1）式成立，则显然s?x,y??C??D?D?.
ij按（4.1）式所确定的多项式qij?x,y?称为内网线?ij：lij?x,y?=0上的（从
Dj到Di的）光滑余因子.称内网线 ?ij上的光滑余因子存在，即指形如 （4.1）
的等式成立.
相邻两胞腔Dj与Di的公共网线为 ?ij=?ji：lij?x,y?=lji?x,y?=0.由 （4.1）式，?ij上的光滑余因子qij?x,y?与?ji上的光滑余因子qji满足关系式
qij?x,y???qji?x,y?.
设A为剖分△的任一给定的内网点.按下列顺序将过A的所有内网线
??ij?所涉及的指标i和j作如下调整：使当一动点沿A为心的逆时针方向越过?时，恰好是从Dj跨入Di.
定义内网点A处的协调条件为
ij?A?lij?x,y??其中
上的光滑余因子.
??1?qij?x,y??0 （4.2）
?A表示对一切以内网点A为一端点的内网线所求的和，而qij?x,y?为?ij
设△的所有内网点为A1,?,AM.整体协调条件定义为
?A?lij?x,y???v?v??1?v??x,y??0,??1,?,M， (4.3) ?qij?v?其中相应于内网点Av的协调条件之qij?x,y?满足（4.2）中所作的规定.
定理 15 对给定的剖分△，函数s?x,y??Sk???，必须而且只须s?x,y?
?在每一条内网线上均有一光滑余因子存在，并且满足（4.3）所示的整体协调条件.
事实上，各内网线上光滑余因子的存在性等价于由该分片多项式的C光滑连接性质.而各内网点处满足协调条件，即整体协调条件又等价于该分片多项式
?函数在整个区域D上的单值性.所以定理15必然成立.请读者自行给出细节（留作习题）.
以上定理证明，多元样条的问题在一定意义上等价于由（4.3）所确定的代数问题.而后者是一个关于诸光滑余因子中个各系数间的一齐次线性代数方程组问题.
如所知，多元样条空间Sk???是一个线性空间.对于各种特定的剖分 △，如
?何找出Sk???的便于应用的基函数组，是多元样条理论和应用的关键问题之一.
?为此，首先要求出样条空间 Sk???的维数dimSk???.因为样条空间的维数，正
??是该空间基函数组中所含函数的个数.
遗憾的是，多元样条空间的维数，特别是当值?和k接近时，有时会严重依赖于剖分△的几何性质.该多元样条空间
1??MS?， S2其中?MS是如下的三角剖分（图4.1）：
可以算出下述维数公式
‘?7，当切仅当AA，BB’，1’??MS???dimS2?CC3条直线共点，
?6，其它情形?1顺便指出,对于任意三角剖分△来说,多元样条空间S2???的维数问题至今仍是一
个国际上尚未最终解决的难题.
若区域D的剖分△是由有限条贯穿区域D的直线切割而成的,则称剖分△是贯穿剖分,常记之为?c.每一条贯穿区域D的直线称为贯穿线.
定理16 设?c为对区域D的贯穿剖分,则如下维数公式成立
?k?2??k???1?V??dimSk??c?????dk?ni?, (4.4) ?2???L????2?i?1????其中L为形成?c的贯穿线数,V为?c中内网点数,ni是经过第i个内网点的贯穿线数,而
1????1??????1?? dk??n???????????k??????n?1k?n?1??n?3?n?1?????????2??n?1?????n?1??(4.5)
,
?x?表示不超过x的最大整数,u??max?0,u?.
根据定理15与贯穿剖分的特点可以证明定理16.此处从略.请读者自行补证,或参阅有关资料.
1??2? 如下的三角剖分??mn和?mn(图4.2)
分别称为1-型和2-型三角剖分.它们都是对矩形区域D??0,1???0,1?的特殊的三角剖分,也是贯穿剖分.
作为定理16的推论,有 定理17
?k?2??k???1?????1??????1??1??????????dimSk???mn???2m?2n?3?m?1n?1?k??????k?2????????2???????222??????????????? (4.6)
??k?2??k???1??k?2??1???1??????1??2???????????????dimSk???mn???3m?3n?4?mn?m?1n?1k????3k?5??3?2????2?2???3????3??1?2????????????????? (4.7)
对于给定剖分△,所有以△的网线为边的多边形的集合记为?.我们说??Sk????是一个具有局部支集的多元样条,如果存在???,使得?于多边形?的外部处处为0.此时?称为多元样条?的支集.从数值分析和计算的角度考虑,最有兴趣的问题之一,是找出Sk????的由具有局部支集样条组成的基函数.
1?2?此处仅讨论Sk???mn和Sk???mn的具有局部支集样条基函数.特别地,我们仅讨
????论其中??1,且k尽可能小的情形.它们在实际问题中是最重要的.
由定理16可知,要使Sk????中的具局部支集的样条得以存在,则在其支集多边形个顶点处的网线(直线)数n必须满足如下基本不等式