????????M4(x)??????????0,当x??21(x?2)3,当?2?x??1,614(x?2)3?(x?1)3,当?1?x?0, 6614(?x?2)3?(?x?1)3,当0?x?1,661(?x?2)3,当1?x?2,60,当2?x它们的图形如下（图2.1）：
图2.1
下面来讨论n-1次样条函数类Sn?1(x1,x2,?,xN)的基函数问题。由定理1，
Sn?1(x1,x2,?,xN)有下述一组基函数：
?1n?1 1,x,?,xn?1,(x?x1)n?,?,(x?xn)?, (2..9)
它们是由N+n个函数组成的。
由于实际计算问题的需要，下面来指出B—样条的一个十分重要的性质，即它们构成了Sn?1(x1,x2,?,xN)的更为方便的基底。
引理 设x1?x2???xr,其中1?r?n,则Mn(x;x1,x2,?,xr)于区间
(??,x1)中为一最高次项系数不为零的n-r次多项式；(?1)r?1Mn(x1,x2,?,xr;x)于区间(xr,?)中为一个最高次项系数不为零的n-r次多项式，并且
Mn(x1,x2,?,xr;x)?0(x?xr)(x?x1)(?1)r?1Mn(x1,x2,?,xr;x)?0 (2..10)
证明 按Mn(x;y)定义和差商公式，
?1(xi?x)n? Mn(x;x1,x2,?,xr)?n?, (2..11) '?(x)i?1rir其中
?r(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xr).
由截断多项式定义，当x?xr时(2..10)中的第一式成立。而当x?x1时，(2..11)中的截断号“+”可以去掉，因而此时Mn(x;x1,x2,?,xr)实为x的一个多项式，其中xn?j?1的系数是 n(?1)rn?j?1?n?1?rxij??j????'(x) ??i?1ri不难发现，?xij?r'(xi)恰为xj的r-1阶差商。从而当j?0,1,?,r?2时，它们
i?1皆为0。但当j=r-1时，它不为0。所以当x?x1时，Mn(x;x1,x2,?,xr)是一最高次项系数不为0的n-r次多项式。
同样，只须注意到
(?1)Mn(x1,x2,?,xr;x)?n(?1)rr?1?1(x?xi)n?, ?'?r(xi)i?1r则可推知引理的其它结论成立。证毕。
定理11 设n?N，且x1?x2???xN
下述N+n个样条函数构成Sn?1(x1,x2,?,xN)的一组基函数：
Bi(x)?Mn(x;x1,x2,?,xr) Bn?i(x)?Mn(x;xi,xi?1,?,xi?m)(i?1,?,n)(i?1,?,N?n)(i?1,?,n) (2.12)
BN?i(x)?(?1)n?iMn(xN?n?i,xN?n?i?1,?,xN;x)证明 因为n-1次样条函数类Sn?1(x1,x2,?,xN)中任意两个样条函数的随意线性组合都仍然属于Sn?1(x1,x2,?,xN)，所以它是一个线性空间。由于
?1?1所以由(2.12)所示(x?xi)n(xi?x)n(i?1,?,N)都含于Sn?1(x1,x2,?,xN)中，?和?的N+n个函数B(x),B2(x),?,BN?n(x)也都是类Sn?1(x1,x2,?,xN)中的函数，因
?1?1为它们均由{(x?xi)n以及{(xi?x)n?}?}组合而成。
定理1已指明Sn?1(x1,x2,?,xN)是N+n维的线性空间。因此，为证定理11，只须证明由(2.12) 所示的N+n个函数B(x),B2(x),?,BN?n(x)线性无关就够了。
设有常数c1,c2,?,cN?n，使
c1B1(x)???cnBn(x)?cn?1Bn?1(x)???cNBN(x)?cN?1BN?1(x)???cN?nBN?n(x)?0(???x??)成立。我们来证
c1?c2???cN?n?0. (2.14) 按(2.4)，(2.10)和(2.12)，于(??,x1)上考虑(2.13)式可知
(2.13)
c1B1(x)?c2B2(x)???cnBn(x)?0(???x?x1). (2.15) 由引理，B1(x),B2(x),?,Bn(x)分别为最高次项系数不为0的n-1次，n-2次，…，0次多项式。因此，由代数基本定理，可推知
c1?c2???cn?0. (2.16) 同理，由(2.4)，(2.10)，(2.12)和(2.13)，可知
cN?1BN?1(x)?cN?2BN?2(x)???cN?nBN?n(x)?0(xN?x??) 再根据引理以及代数基本定理，也有
cN?1?cN?2???cN?n?0. (2.17) 综合(2.13)，(2.16)和(2.17)，得到
cn?1Bn?1(x)???cNBN(x)?0(???x??). (2.18) 又由(2.4)式可知Bn?i(x)的跨度（即取非零值的区间长度）有限，所以当
(xN?1?x?xN)时，(2.18)式成为
cNBN(x)?0(xN?1?x?xN). (2.19) 根据定义
?1(xi?x)n?BN(x)?Mn(x;xN?n,?,xN)?n??'(xi)i?N?nN
?n(xN?x)?'(xN)n?1
(xN?1?x?xN).其中?(x)?(x?xN?n)?(x?xN).特别的，
?x?xN BN??N?12?于是由(2.19)可推知
(xN?xN?1)n?1??0. ??nn?12?'(xN)? cN?0. 这样一来，(2.18)简化为
cn?1Bn?1(x)???cN?1BN?1(x)?0(???x??). (2.20)
与前面完全相同地，考虑(xN?2,xN?1)区间上的(2.20)式，则可推知cN?1?0。依此类推，即可最后得到
cn?1?cn?2???cN?0. (2.21)
综合(2.16)，(2.17)和(2.21)可知B1(x),B2(x),?,BN?n(x)线性无关。
于是由线性空间理论，B1(x),B2(x),?,BN?n(x)构成空间Sn?1(x1,x2,?,xN)的一组基底。定理证毕。
推论5 设n?N，且
x1?x2???xN， 则B—样条函数
Bj(x)?Mn(x;xj,xj?1,?,xj?n)(j?1,2,?,N?n) 线性无关。于是满足
S(x)?0,只要x?(x1,xN)
的任一S(x)?Sn?1(x1,x2,?,xN)，均可唯一地表现为
N?nS(x)??cB(x). (2.22)
jjj?1对于自然样条函数类N2k?1(x1,x2,?,xN)，我们也可以引进新的基函数组。设
k?1 M(x;y)?2k(y?x)2. ?与定理11完全类似地，有如下定理：
定理12 设N?2k,且x1?x2???xN.则下述N个自然样条函数构成自然样条函数类N2k?1(x1,x2,?,xN)的一组基函数：
Bi(x)?M(x;x1,x2,?,xk?n)(i?1,2,?,k), Bk?i(x)?M(x;xi,xi?1,?,xi?2k)(i?1,2,?,N?2k), (2.23)
BN?k?i(x)?(?1)iM(xN?2k?i,?,xN;x)(i?1,2,?,k).定理
13
若
k?N?2k,x1?x2???xN且多项式
p1(x),p2(x),?,p2k?N(x)是2k-N-1次多项式类的一组基底。则下述N个自然样条函数构成N2k?1(x1,x2,?,xN)的一组基函数：
Bi(x)?M(x;x1,x2,?,xk?i)(i?1,?,N?k), BN?k?i(x)?pi(x)(i?1,?,2k?N), (2.24)
Bk?i(x)?(?1)N?iM(xi?,xN;x)(i?1,?,N?k).定理12与定理13请读者自行证明，此处不拟列出。
定理9指出了样条函数插值问题(1.32)解存在并且唯一的充分必要条件：插