?sk??aksk?1pk(s0?1),?(tn?1), (3.18) ?tk?qktk?1?sk?u?q??u(??0).kk?1kn?k接着从方程
cn(t1xn??1)?an(tn?1xn??n?1)?bnxn?dn (3.19) 中解出xn.最后由递推关系式
xk=tkxn+vk ?k?1,?,n?1?
逐个求出xn?1,?,x1.
应该指出，此处在推导3次样条插值时，乃是从其2阶导数为线性函数这一点出发的.当然，也可以从特殊形式的Hermite插值公式出发来建立3次样条插值的一类新的计算方案.这一工作留给读者作为习题去完成.
下面介绍等距离结点的3次自然样条函数S?x??N3?x1,?,xN?的一种计算表格.此时
xj?x1??j?1?h,h?x2?x1 ?j?1,?,N?. 而于区间?xi,xi?1?上S?x?的表达式为
??xi?1?x??x?xih2h2?? S?x?=?y?M?y?M?i6i?h?i?16i?1??h
????h2h2?xi?1?x??x?xi?+Mi?Mi?1???? 66?h??h?相应连续性方程为
h2h2h2Mi?1?4Mj?Mj?1??2yi 66633 ?j?2,?,N?1?,
其中 ?2yi为2阶中心差分?2yi=yi?1?2yi?yi?1.而3阶自然样条函数的边界条件为
M1?MN?0.
(3.32)所示线形代数方程组为
?h2?M2??26?410?000??2???y2???141?000??hM??2?y33????6??? ? ?????=??? ?????h2??2000?141?yN?2????MN?2??26?????000?014???h2??yN?1??M?N?1???6?今将(3.24)最后一行的-1/4倍加到倒数第二行,使倒数第二行的主对角线上方的元素为0 .
再从这个新的倒数第二行出发,把倒数第三行主对角线上方的元素变为0.一直这样作下去,即可将(3.24)变形为
0??N?3?1?N?4????0?0?0?00??00???M = ?????10??1?0???0?d2??d??3????, (3.25) ??d?N?2???dn?1??h2其中M=?M2,M3,?,MN?2,MN?16?T，
aj?4?1/aj?1 ?j?1,2,??,a0?4,
dj?1??2yj?1?djaN?j?1 ?j?N?1,N?2,?,3?, （3.26）
dN?1??2yN?1.
若定义
?j?aj/bj, (3.27) 则由（3.26）可推出递推关系式
aj?2?4aj?1?aj ?j??1,a0?4,a?1?1?，
bj?1?aj 于是（3.27）又可以改写为
aj?aj/aj?1（3.28）
又由（3.26）可推知
?j?0?.
?aN?r?2?2? d2??2y2????1???a??yr，
r?3?N?4?N?1r即
aN?4d2????1?aN?r?2?2yr.
rr?2N?1以之代入（3.25）的第一个等式，并注意（3.28）,即可得到
?h2?N?12? aN?3???M?-1a?yr （3.29） N?r?2?62????r?2由它算出M2，然后由连续性方程（3.22）和边界条件（3.23）即可计算出1其它个
h2Mj?j?3,4,?,N?1?.因为Mj出现在（3.21）中，若把它直接作为未知数就
6r可以
前若干个aj的值可列表如下： j -1 1 0 4 1 15 2 56
3 209 4 780 5 2911 6 10 864 aj j 7 40 545 8 151 316 9 564 719 10 2 107 560 11 7 865 521 aj j 12 29 354 524 13 109 552 575 14 408 855 776 15 1 525 870 529 aj j 16 5 694 626 340 17 21 252 634 831 aj 例 给定型值点 x y 1 244.0 2 221.0 3，4 208.0 5 211.5 6 216.0 7 219.0 8 221.0 9 221.5 10 220.0 采用上述方法( h = 1 ),可求出
a7M3,?6a7?1?. M2?40 545?M2??73 2456?6?其它
,a7M96等则可按递推关系
a7?a??a?Mj?1?a7?2yj?4?7Mj???7Mj?1? 6?6??6??j?2.?,9?而逐一计算出来。而S?x?于各子区间上的表达式也可随之用（3.21）
表出.
例如于区间[1，2]上，S?x?的表达式为
S?x?=1.806 511 2x3-5.419 533 6x2-19.386 977 6x+76
§4.多元样条
设D为二维欧氏空间R中的给定区域.以Pk记二元实系数代数多项式的 集合：
kk?i?? Pkdef?p???cijxiyj诸cij为实数?.
i?1j?0??2二元多项式p?Pm称为是不可约的，如果（在复域中） 除常数和该多项式本 身外，没有其它多项式可整除它.代数曲线 ?：l(x,y)?0, l(x,y)?Pm
称为是不可约代数曲线，如果l(x,y)是不可约多项式.显然，任何直线都是不 可约的代数曲线.
用有限条不可约代数曲线对区域D进行剖分△.则D被剖分为有限个子区 域D1,?,DN，它们称作是D的胞腔.相邻胞腔的公共边界线段称为网线，网 线的交点称为网点或顶点.
?多元样条空间定义Sk（△） def s?C??D?sD?Pk,i?1,?,N
I???按以上定义可知，任一样条s?Sk（△）
均为在D上具有?阶连续偏导数的分片k次多项式函数.
定理14 设函数z?s(x,y)在两相邻胞腔Di和Dj上的表达式分别为
z?pi?x,y?和z?pj?x,y?，其中pi,pj?Pk为使
s?x,y??C??Di?Dj?， 必须且只必须存在多项式qij?Pk????1?，使得 pi(x,y)?pj?x,y??lij?x,y?其中
?ij:lij?x,y??0
为 Di与Dj的公共网线，且不可约多项式lij?x,y?的次数为d. 证明 先取??0.按定理所给的条件，如果s?x,y?于?ij上处处连续，则 ??x,y?def pi?x,y??pj?x,y?
子. 于?ij上处处为0.于是?ij上的 任一点均为lij?x,y?与??x,y?的公共零点.因为
??????1?qij(x,y)，