大学物理 简明教程 习题 解答 答案
习题一
drdrdvdv1-1 ｜?r｜与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
???r?r?r?r?r?r2?r1；21，解：（1）是位移的模，?r是位矢的模的增量，即
drdrds（2）dt是速度的模，即dt?v?dt.
drdt只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?r??dtdtdt rr?rr∵有（式中叫做单位矢），则
dr式中dt就是速度径向上的分量，
drdr与∴dtdt不同如题1-1图所示. 题1-1图
?dv?dvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模，即
??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以
??dvdv?d????vdtdtdt
dv式中dt就是加速度的切向分量.
???d??dr?与dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (dt1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，
d2rdr222x?y有人先求出r＝，然后根据v=dt，及a＝dt而求得结果；又有人先
计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
?d2x??d2y??dx??dy????????dt2?????dt2??dtdt???? ???? v=及a=
你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
2222???r?xi?yj，
故它们的模即为
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y2222?dx??dy?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
drd2rv?a?2dtdt
drd2rdr与2其二，可能是将dtdt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速
d2r2度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，dt也不是加速度的模，它只是加
2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt?????。或者概括性地说，前一种方速度在径向分量中的一部分???法只考虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及
?速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为
221x=3t+5, y=2t2+3t-4.
式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）
(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m
???r2?11j?4jm
??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴
????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)
???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ???dva??1jm?s?2dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图
?1所示．当人以v0(m·s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知
222 l?h?s 将上式对时间t求导，得
dlds?2sdt dt1-4图
根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，
dldsv绳???v0,v船??dtdt ∴
2l 题
vdsldll???v0?0dtsdtscos? 即
lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或
将v船再对t求导，即得船的加速度
v船??dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss
2?21-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度s值．
解： ∵
a?dvdvdxdvdt?dxdt?vdx 分离变量： ?d??adx?(2?6x2)dx
1两边积分得 2v2?2x?2x3?c 由题知，x?0时，v0?10,∴c?50
∴ v?2x3?x?25m?s?1
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3tm?s?2，开始运动时，m，v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．
解：∵ a?dvdt?4?3t
分离变量，得 dv?(4?3t)dt
积分，得 v?4t?32t2?c1
由题知，t?0,v0?0,∴c1?0
故
v?4t?32t2 v?dx?4t?3t2又因为
dt2 分离变量， dx?(4t?32t2)dt
积分得 x?2t2?12t3?c2
由题知 t?0,x0?5,∴c2?5
x?2t2?1t3故2?5
所以t?10s时
x＝5 3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2
31-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
v10?4?10?
解：
?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时，
??d?d??9t2,???18tdtdt
an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2
(2)当加速度方向与半径成45角时，有
222R??R?(9t)?18t 即 亦即
t3?οtan45??a??1an
22??2?3t3?2?3??2.67rad9 于是角位移为9则解得
1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中s为质点离圆周上
某点的弧长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加
速度在数值上等于b．
解：（1）
v?ds?v0?btdt
dv??bdtv2(v0?bt)2an??RR
(v0?bt)4222a?a??an?b?R2则
加速度与半径的夹角为
a?Rb??arctan??an(v0?bt)2
(2)由题意应有
a??(v0?bt)4a?b?b?R2 4(v?bt)b2?b2?02,?(v0?bt)4?0R即
vt?0b时，a?b ∴当
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