立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等
q?e?6?0． ∴ 各面电通量
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体
q?e?6?0 中心，则边长2a的正方形上电通量
对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则
如果它包含q所在顶点则?e?0．
?e?q24?0，
如题5-5(a)图所示．题5-5(3)图
题5-5(a)图 题5-5(b)图 题5-5(c)图
22(3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为R?x的球冠面的电通量，球冠面积*
xS?2π(R2?x2)[1?]22R?x
xqSq1???0?2222?2?4π(R?x)R?x00∴ []
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图
S??2πrsin??rd?0?
?2πr2?sin??d?0?
?5?2πr(1?cos?)
25-6 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C·m-3求距
球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强．
???qq?2?sE?dS??0E4πr??0解: 高斯定理,
?q?0?cmEr?5当时，,?0
r?8cm时，?q?p4π33?r(r内) 34π32r?r内3E?24π?r?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． 0∴
4π3q??3?r(r?3外内）r?12cm时,
????E?∴
4π33r外?r内3?4.10?1042?14π?0r N?C 沿半径向外.
??5-7 半径为R1和R2(R2＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量
?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．
?0 解: 高斯定理
取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl
??E?dS?E2πrl则 ?S
对(1) r?R1 ?q?0,E?0
s
???qE??dS?(2) R1?r?R2 ?q?l? ?E?2π?0r 沿径向向外 ∴
(3) r?R2 ?q?0
∴ E?0
题5-8图
5-8 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2，
?1?E?(?1??2)n2?0两面间，
?1?E??(?1??2)n2?0?1面外， ?1?E?(?1??2)n2?0?2面外，
?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．
题5-9图
5-9 如题5-9图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8-16图示
1qq(?)?04π?0RR 1qq??qUO?(?)4π?03RR6π?0R
qqA?q0(UO?UC)?o6π?0R ∴
5-10 如题5-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?
?dq??Rd?则产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向
UO?
题5-10图
E??dEy??2???
???sin(?)?sin4π?0R［2］ 2??2π?0R
?Rd?cos??4π?R202
?(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0
A?dx2R?dx?U1?????ln2B4π?xR4π?x4π?000
?U2?ln24π?0同理CD产生 半圆环产生
U3?πR???4π?0R4?0
??ln2?2π?04?0 ∴
5-11 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0 mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
UO?U1?U2?U3?题5-11图
(1)∵ UAC?UAB，即 ∴ EACdAC?EABdAB
?1EACdAB???2?EdABAC∴ 2
q?AS 且 ?1+?2q2q?2?A,?1?A3S 3S 得
2qC???1S??qA??2?10?7C 3而
qB???2S??1?10?7C (2)
?1dAC?2.3?103?0V
5-12 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：
UA?EACdAC?(1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
题5-12图
qdrq?R2R24π?r24π?0R 0(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生： U??????E?dr??U?q4π?0R2?q4π?0R2?0
(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q?(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
?q?q'?04π?0R14π?0R24π?0R2 Rq??1qR2 得
外球壳上电势
q'q'?q?q'?R1?R2?qUB????24π?0R24π?0R24π?0R24π?0R2
5-13 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质UA???q'q'相对介电常数为?r，金属球带电Q．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
??D?dS??q解: 利用有介质时的高斯定理?S (1)介质内(R1?r?R2)场强
???Qr?QrD?,E内?34πr4π?0?rr3; 介质外(r?R2)场强
??Qr?QrD?,E外?4πr34π?0r3 (2)介质外(r?R2)电势
??Q?U??E外?dr?r4π?0r 介质内(R1?r?R2)电势 ??????U??E内?dr??E外?dr
rr
11Q(?)?4π?0?rrR24π?0R2 Q1??1?(?r)4π?0?rrR2 ?q