1-9 以初速度v0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2．
?1(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-9图
(1)在最高点，
v1?vx?v0cos60o an1?g?10m?s?2 2van1?1?1 又∵
v12(20?cos60?)2?1??an110∴
(2)在落地点，
?10mv2?v0?20m?s?1,
oa?g?cos60n而 2 2v2(20)2?2???80man210?cos60?∴
1-10飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad·s，求t＝
2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
?1解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4rad?s
则v?R??0.4?0.4?0.16m?s
an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2 a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2
1-11 一船以速率v1＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
???v?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a) 解：(1)大船看小艇，则有212a?an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2?1?2
题1-11图
22?1v?v?v?50km?h2112由图可知
v3??arctan1?arctan?36.87?v24方向北偏西 ???v?v121?v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同(2)小船看大船，则有
上法，得
v12?50km?h?1
o方向南偏东36.87
习题二
2-1 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
?vmgN解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取0方向为X轴，
平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
题2-1图
X方向： Fx?0 x?v0t ① Y方向： Fy?mgsin??may ② t?0时 y?0 vy?0
1y?gsin?t22
由①、②式消去t，得
1y?2gsin??x22v0
2-2 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝
vf6 N，y＝-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m·s-1，y＝0．求 当t＝2 s (1)位矢；(2)速度．
f63ax?x??m?s?2m168解： fy?7ay??m?s?2m16
(1)
235vx?vx0??axdt??2??2??m?s?10842?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168
于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?jm?s?148
(2)
?1?1?r?(v0t?axt2)i?ayt2j22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48
2-3 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0
时质点的速度为v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0e；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
mv0mk?()tv()0mx＝(k)ek［1-］；(3)停止运动前经过的距离为；(4)证明当t?mk1时速度减至v0的e，式中m为质点的质量．
?kvdva??mdt 答: (1)∵
分离变量，得
dv?kdt?vm vdvt?kdt???v0v0m 即 v?ktln?lnemv0 ∴ v?v0e
kktmv0?mt?mtx??vdt??v0edt?(1?e)0k(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，
k?mv0?mtx???v0edt?0k 故有
m (4)当t=k时，其速度为
v?v0ekm?m?kk?mt?(k)tm?v0e?1?v0e
1即速度减至v0的e.
?v2-4一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速0从地面抛出，若忽略空气阻
力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．
解: 依题意作出示意图如题2-6图
题2-4图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
o而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为
????p?mv?mv0 ?mv由矢量图知，动量增量大小为0，方向竖直向下．
?F?(10?2t)i2-5 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中t的单位是s，(1)
求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一
?个具有初速度?6jm·s-1的物体,回答这两个问题． 解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i00,沿x轴正向，
????p1?v1??5.6m?s?1im???I1??p1?56kg?m?s?1i ?1若物体原来具有?6m?s初速，则
?tt?F?????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt0m0于是 t??????p2?p?p0??Fdt??p10,
????同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
02?1vm?s02-6 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受
I??(10?2t)dt?10t?t2t的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到
枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
at?F?(a?bt)?0,得b
(2)子弹所受的冲量
t1I??(a?bt)dt?at?bt202
at?b代入，得 将
a2I?2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
????????F?7i?6jNr??3i?4j?16km合F2-7设．(1) 当一质点从原点运动到时，求所
Ia2m??v02bv0
作的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
?解: (1)由题知，F合为恒力，
???????∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k) ??21?24??45J
A45P???75w?t0.6(2)
(3)由动能定理，?Ek?A??45J
2-8 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s-1从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
1?1??frs?kx2??mv2?mgssin37??2?2? 12mv?mgssin37??frs2k?12kx2
式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得 k?1390N?m-1