(3)金属球的电势
R2?????U??E内?dr??E外?drR1R2
QdrR4π??r2R24π?r20r0 Q1??1?(?r)4π?0?rR1R2 ??R2Qdr??? 题5-14图
5-14 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且
l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数?的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：(1)在半径r处/R1＜r＜R2/，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容．
解: 取半径为r的同轴圆柱面(S)
??D?dS?2πrlD?(S)则 当(R1?r?R2)时，?q?Q
∴
D2Q2w??2222?8π?rl (1)电场能量密度
Q2Q2drdW?wd??2222πrdrl?8π?rl4π?rl 薄壳中
(2)电介质中总电场能量
2R2QdrRQ2W??dW???ln2VR14π?rl4π?lR1
Q2W?2C (3)电容：∵
D?Q2πrl
Q22π?lC??2Wln(R2/R1) ∴
题5-15图
5-15 如题5-15图所示，C1=0.25?F，C2=0.15?F，C3=0.20?F ．C1上电压为50V．求：UAB．
解: 电容C1上电量 Q1?C1U1
电容C2与C3并联C23?C2?C3 其上电荷Q23?Q1
∴
25UAB?U1?U2?50(1?)?8635 V
U2?Q23C1U125?50??C23C2335
?6-1 在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的
?磁力方向定义为磁感应强度B的方向?
?解: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的
?磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方
?向并不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向． 6-2 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?
答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用．
x轴正方向，6-3 已知磁感应强度B?2.0Wb·m-2如题9-6
图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量． 解： 如题9-6图所示
习题六
题6-3图
(1)通过abcd面积S1的磁通是
???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb
(2)通过befc面积S2的磁通量
???2?B?S2?0
(3)通过aefd面积S3的磁通量
??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或曰?0.24Wb)
5题6-4图
?6-4 如题6-4图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．
?解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中
?B 产生 AB1?0 ?I产生B2?0，方向垂直向里 CD
12R?I?I3段产生 B3?0(sin90??sin60?)?0(1?CD )，方向?向里
R2?R24?2?I3??)，方向?向里． ∴B0?B1?B2?B3?0(1?2?R266-5 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．
题6-5图 ?解：如题6-5图所示,BA方向垂直纸面向里
?0I1?0I2BA???1.2?10?4T
2?(0.1?0.05)2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处
?0I?I?2?0 则
2?(r?0.1)2?r解得 r?0.1 m
题6-6图
6-6 如题6-6图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度．
解： 如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与
I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且 I1电阻R2?. ??I2电阻R12????I1产生B1方向?纸面向外
?I(2???)B1?01，
2R2??I2产生B2方向?纸面向里
?I?B2?02
2R2?BI(2???)?1 ∴ 1?1B2I2????有 B0?B1?B2?0
6-7 设题6-7图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：
?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?
?(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?
??解： ?B?dl?8?0
a???baB??dl??8?0 B?dl?0 ?c?(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．
???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．
题6-7图
6-8 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别
为b,c)构成，如题6-8图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小
??解： ?B?dl??0?I
LIr2(1)r?a B2?r??02
RB??0Ir 2?R2(2) a?r?b B2?r??0I
B??0I 2?rr2?b2??0I (3)b?r?c B2?r???0I22c?b?0I(c2?r2) B?2?r(c2?b2)(4)r?c B2?r?0
B?0
题6-8图 题6-9图
?6-9 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I，如题6-9图所示．求其所受的安培力．
?
解：在曲线上取dl
???b则 Fab??Idl?B
a??????∵ dl与B夹角?dl，B??不变，B是均匀的．
2????bb?∴ Fab??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B
aa方向⊥ab向上，大小Fab?BIab
题6-10图
6-10 如题6-10图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm，求：
(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力； (2)矩形线圈所受合力和合力矩．
? 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小
?IFCD?I2b01?8.0?10?4 N
2?d?同理FFE方向垂直FE向右，大小
?0I1FFE?I2b?8.0?10?5 N
2?(d?a)?FCF方向垂直CF向上，大小为