题7-9图
7-9 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路．设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l的一段自感为
?ld?aL?0In．
?a解： 如图7-9图所示，取dS?ldr
d?a?I?0I?Ild?a1?Il1d?ad)ldr?0?(?)dr?0(ln?ln) 则 ???(0?aa2rπ2π(d?r)2πrr?d2πad?a?Ild?a ?0lnπa??ld?a∴ L??0ln
Iπa7-10 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H．试求：它们之间的互感． 解： ∵顺串时 L?L1?L2?2M 反串联时L??L1?L2?2M
∴ L?L??4M
L?L?M??0.15H
47-11图
7-11 一矩形截面的螺绕环如题7-11图所示，共有N匝．试求：(1)此螺线环的自感系数；
(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少? 解：如题7-11图示 (1)通过横截面的磁通为
b?NI?NIhb ???0hdr?0ln
a2rπ2πa?0N2Ihbln 磁链 ??N??2πa??0N2hb?ln ∴ L?I2πa
12LI 2?0N2I2hbln ∴ Wm?4πa7-12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I．求：导线内部单位长度上所储存的磁能．
?I解：在r?R时 B?0r2
2πR?0I2r2B2∴ wm? ?242?08πR取 dV?2πrdr(∵导线长l?1)
232RR?Irdr?I?0 则 W??wm2?rdr??04004πR16π7-13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介
dU电常数为?的电介质.当两极板间的电压随时间的变化?k时(k为常数)，求
dt介质内距圆柱轴线为r处的位移电流密度．
2??l解：圆柱形电容器电容 C?
R2lnR12??lUq?CU?
R2lnR1q2??lU?U D???RRS2?rln2rln2R1R1?D?k?∴ j?
R?trln2R1dU7-14 试证：平行板电容器的位移电流可写成Id?C．式中C为电容器的电
dt容，U是电容器两极板的电势差．如果不是平板电容器，以上关系还适用吗? 解：∵ q?CU
CU D??0?S∴ ?D?DS?CU
d?DdU
(2)∵ Wm?ID?dt?Cdt
不是平板电容器时 D??0仍成立
dU∴ ID?C还适用．
dt7-15半径为R=0.10m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中．今对电容器
dE13-1-1
=1.0×10 V·m·s．求两极板间dt的位移电流，并计算电容器内离两圆板中心联线r(r＜R)处的磁感应强度Br以及r=R处的磁感应强度BR．
?D?E解: (1) jD? ??0?t?tID?jDS?jD?R2?2.8A
????(2)∵ ?H?dl??I0??jD?dS
匀速充电，使两极板间电场的变化率为
lS取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周l?2?r，则
dE2H2?r?jD?r2??0?r
dtrdE∴ H??0
2dt??rdE Br??0H?002dt??RdE当r?R时，BR?00?5.6?10?6 T
2dt
习题八
8-1 质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??2?)3(SI)的
规律作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3
?4又 vm??A?0.8?m?s?1 ?2.51m?s?1
am??2A?63.2m?s?2
(2) Fm?am?0.63N
12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2当Ek?Ep时，有E?2Ep，
E?111即 kx2??(kA2)
22222A??m ∴ x??220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
8-2 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是： (1)x0??A；
(2)过平衡位置向正向运动；
A(3)过x?处向负向运动；
2A(4)过x??处向正向运动．
2试求出相应的初位相，并写出振动方程．
?x0?Acos?0解：因为 ?
v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
2??1??x?Acos(t??)
T32?3?2??x?Acos(t??)
2T2?2???3?x?Acos(t?)
3T35?2?5?4?x?Acos(t??)
4T4?38-3 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：
(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．
解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s
2?∴ ???0.5?rad?s?1
T又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为
x?24?10?2cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，
A?t?t时 x0??,且v?0,故?t?
23????2∴ t??/?s
?323 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
?3?2?3
121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J8-4 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．
E?m1g1.0?10?3?9.8?1解：由题知k? ??0.2N?m?2x14.9?10而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正) 又 ???k0.22???5,即T??1.26s m?8?10?3v2A?x0?(0)2?5.0?10?22?(1.0?10)?()
5?22?2?10?2mv05.0?10?25? tan?0????1,即??0x0?1.0?10?2?545∴ x?2?10?2cos(5t??)m
4
8-5 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．
题8-5图
3解：由题8-5图(a)，∵t?0时，x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s
22?即 ????rad?s?1
T3故 xa?0.1cos(?t??)m
2A5?由题8-5图(b)∵t?0时，x0?,v0?0,??0?
23?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2??
2