A．30 B．45 C．60 D．90 答案：C
2．（肥城市第二次联考）如右图所示，在正方体ABCD?ABCE，F111D1中，
A1D1B1FEDCBC1????分别是
的是（ C ） AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立．．．A．EF与CC1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与AC1异面 11异面 D．EF与AD答案 C
解析：连结AB1，在?ABC11中，EF?AC11，所以A、B、D正确，C错，选C。
3．（师大附中理）设P,A,B,C是半径为2的球面上四个不同的点，且满足PA,PB,PC两
两互相垂直，则S?PAB?S?PAC?S?PBC的最大值是__________。 答案：8
4．（池州市七校元旦调研）设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．
5. （马鞍山学业水平测试）（本小题满分8分）
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. (Ⅰ)证明：AD⊥D1F;
A 46
(Ⅱ)求AE与D1F所成的角; (Ⅲ)证明：面AED⊥面A1FD1.
解：以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1????????????????????????????1分 则有A（1,0，0），E（1，2，
11），F（0，，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1）??2分 221(Ⅰ)AD?(?1,0,0),D1F?(0,,?1),AD?D1F?0，∴AD⊥D1F?????????4分
21(Ⅱ)AE?(0,1,),AE?D1F?0，∴AE⊥D1F
2 AE与D1F所成的角为90?????????????????????????6分(Ⅲ)由以上可知D1F⊥平面AED，又D1F在平面A1FD1内，
∴面AED⊥面A1FD1??????????????????????????8分 6．（池州市七校元旦调研）如图，平面PAC?平面ABC，?ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，
0
PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10．
（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE； （II）证明：在?ABO内存在一点M，使FM?平面
BOE．
证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在 直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O?xyz，则
O?0,0,0?,A(0,?8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,?4,3),F?4,0,3?，由题意得，?????????G?0,4,0?,OB?(8,0,0),OE?(0,?4,3)因，因此平面BOE的法向量为n?(0,3,4)，
?????????FG?(?4,4,?3得n?FG?0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG//平面BOE
??????x,y,0?，则FM?(x0?4,y0,?3)，因为FM?平面BOE，所以
（II）设点M的坐标为009??94,?,0???????x0?4,y0???4?，在平面直角坐标系xoy4，即点M的坐标为?有FM//n，因此有
47
?x?0??y?0?x?y?8?AOB中，的内部区域满足不等式组?，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，
所以在?ABO内存在一点M，使FM?平面BOE，
7．（马鞍山学业水平测试）（本小题满分12分）
（文）在斜三棱柱ABC?ABC111中，M为BC11的中点，N是BC上一点. （Ⅰ）若平面AB1N//平面AMC，求证：N为BC的中点； 1（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若. 平面A面ABC1MC?平C1
A1 M B1
A，1B1?A1C1B1C=B1B，求证：
C A C1
A1 M 平面A1MC//平面AB1N??（Ⅰ）?平面A1MC?平面B1BCC1?MC ，所以MC//B1N
?平面ABN?平面BBCC?BN1111?因为M为B1C1中点，所以N为BC中点----------------------6分 （Ⅱ）AB11?AC11，且M为中点，所以AM1N B
B1
?BC11----------8分
C A N B
B1C=BB1?B1C=C1C，M为中点，所以CM?BC11，----------10分
又AM， ----------12分 ?MC?M,则BC面AMC111?平1又BC， ----------14分 AMC11//BC,所以BC?平面1又BC?平面ABC，所以 平面AMC?平面ABC -------16分 18. （玉溪一中期中文）（本小题12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，
AB?AD，AC?CD，?ABC?60°，PA?AB?BC，E是PC的中点． （Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE?平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A?PD?C的大小．
P
E A D
C
B
（Ⅰ）解：在四棱锥P?ABCD中，因PA?底面ABCD，故P AB?平面ABCD，A?AB．又AB?AD，PA?AD?A，从而AB?平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，
48
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB?PA，故∠APB?45． 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45．
??P
M E D
B
C
A （Ⅱ）证明：在四棱锥P?ABCD中，
因PA?底面ABCD，CD?平面ABCD，故CD?PA． 由条件CD?PC，PA?AC?A，?CD?面PAC． 又AE?面PAC，?AE?CD．
由PA?AB?BC，∠ABC?60，可得AC?PA．
??E是PC的中点，?AE?PC，?PC?CD?C．综上得AE?平面PCD．
（Ⅲ）解：过点E作EM?PD，垂足为M，连结AM．由（Ⅱ）知，AE?平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM?PD． 因此∠AME是二面角A?PD?C的平面角．
由已知，可得∠CAD?30．设AC?a，可得
?PA?a，AD?23212a，AE?a，PD?a． 33223a273?a． 721a3在Rt△ADP中，?AM?PD，∴AM?PD?PA?AD，则
AM?PA?AD?PDa?在Rt△AEM中，sinAME?AE1414．所以二面角A?PD?C的大小arcsin ?AM449.（祥云一中月考理）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角
形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。
（I）求异面直线PA与DE所成的角的余弦值； （II）求点D到面PAB的距离．
10.解：如图取DC的中点O，连PO，∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.
又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.如图建立空间直角坐标系O?xyz.
则P(0,0,3aaaa),A(a,?,0),B(a,,0),C(0,,0), 2222
1D(0,?,0)
a
49
（1）E为PC中点，?E(0,a333a3 ,a), ?DE?(0,a,a),PA?(a,?,?a)，
4422443a333?PA?DE?a?(?)?a?(?a)??a2，
424243?a23PA?DE64|PA|?2a,|DE|?,cos?PA,DE?????,243|PA|?|DE|2a?a2
?????????????.6分 （2）可求PA?(a,?a3,?a),AB?(0,a,0)， 22设面PAB的一个法向量为n?(x,y,z),则n?PA,n?AB，
a3?n?PA?xa?y?az?0. ① n?AB?ya?0. ②
22由②得y=0，代入①得xa?3az?0令x?3,则z?2,?n?(3,0.2). 2在?上的射影的绝对值. 则D到面PAB的距离d等于DAd?|DA||cos?DA?n?|?|DA|?|DA?n||DA?n||(a,0,0)?(3,0.2)| ??|n|7|DA|?|n|3a2121 ?a.即点D到面PAB的距离等于a.777???????????..12分
11.（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P—ABCD中，侧棱PA与底面ABCD垂直，DC=1，AD=AP=2，AB=5，∠CDA=∠DAB=90°，E是PB的中点. （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）求异面直线PD、AE所成角的大小； （3）求二面角A-CE-B的大小..
法一： （1）证：由题意：AC=
则5，
PEABDCCA?，又∠DCA=∠CAB，ACABDC所以△DCA 与△CAB 相似，所以 BC⊥AC，又由侧棱
PA与底面ABCD垂直，有PA ⊥BC，
所以BC⊥平面PAC；?????4分
50