故所求的二面角的大小为
?. 6作AG?BD于G，连GC，则GC?BD，?AGC为二面角A?BD?C的平面角，
?AGC?60?.不妨设AC?23，则AG?2,GC?4.在RT?ABD中，由
，易得AD?AB?BD?AGAD?6. 设点B1到面BDC的距离为h，BC1与平面
BCD所成的角为?。利用11S?B1BC?DE?S?BCD?h，可求得h?23，又可33求得BC1?4??3 sinh1????3?0 .BC21即BC1与平面BCD所成的角为30?.
分析二：作出BC如图可证得BC?面AFED，所以1与平面BCD所成的角再行求解。面AFED?面BDC。由分析一易知：四边形AFED为正方形，连AE、DF，并设交点为
O，则EO?面BD，C?OC为EC在面BDC内的射影。
??ECO即为所求。以下略。
?分析三：利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，则BC1与平面BCD所成的角?????即为BC1与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
9．（本小题共14分）
如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB；
（Ⅱ）当PD?2AB且E为PB的中点时，求AE与
平面PDB所成的角的大小.
31
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz， 设AB?a,PD?h,
则A?a,0,0?,B?a,a,0?,C?0,a,0?,D?0,0,0?,P?0,0,h?，
????????????（Ⅰ）∵AC???a,a,0?,DP??0,0,h?,DB??a,a,0?，
????????????????∴AC?DP?0,AC?DB?0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC?平面PDB.
（Ⅱ）当PD??112?2AB且E为PB的中点时，P0,0,2a,E?a,a,?222a??，
???? 设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
?????1??12????2?a,EO?0,0,?a? ∵EA??a,?a,?， ???2???22?2???????????EA?EO2∴cos?AEO????， ??????2EA?EO∴?AOE?45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.
10.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=
??π，2CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=7，求：
（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离： （Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值， 18.（本小题满分12分）
如图4，在正三棱柱ABC?ABC111中，AB?D是AB11的中点，点E在AC11上，且DE?AE。
32
2AA
（I） （II）
证明平面ADE?平面ACC1A1
求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。
解 （I） 如图所示，由正三棱柱ABC?ABC111的性质知AA1?平面ABC111 又DE?平面A1B1C1，所以DE?AA1.
而DE?AE。AA1?AE=A 所以DE?平面AC C1A1，又DE?平面ADE，故平面ADE?平面AC C1A1。
解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A1=
2，则AB=2，相关各点的坐标分别是
， C1（0，1，2）， D（3，0，0）
A(0,-1,0)， B（
13，-，2）。
22易知AB=(
3，1，0)， AC1=(0，2，2)， AD=(
13，-，2）
22设平面ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有
?AB?3x?y?0,??n·??? ?AC1?2y?2z?0,??n·?解得x=-
3y， z=-2y， 3故可取n=(1，-
3，6)。
33
所以，cos(n·AD)=n·ADn·AD=1023=。
10?3510。 5由此即知，直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为11.（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4, AA1=上，且DE?7,点D是BC的中点，点E在AC
A1E
（Ⅰ）证明：平面ADE1?平面ACC1A1;
（Ⅱ）求直线AD和平面ADE所成角的正弦值。 1
解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是A(2,0,0,),
A1.(2,0, 7), D(-1, 3), E(-1,0.0)
????????????易知AB，DE=（0，-3，0），AD=（-3，3，0） 1=（-3，3，-7）
设n=（x，y，z）是平面A1DE的一个法向量，则
{uuuvn?DE??3y?0uuuuvn?A1D??3x?3y?7z?0
34
解得x??7z,y?0 3故可取n=（7,0,-3，）于是
uuuruuurn?AD
cosn,AD?uuurn?AD=?3721 ??84?23由此即知，直线AD和平面A1DE所成的角是正弦为12．（本小题满分12分）
21 8在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PA?AD?4，
AB?2. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小； （3）求点N到平面ACM的距离. 方法二： （1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则
zA(0,0,0)，P(0,0,4)，
PB(2,0,0)， C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；设平面ACM的一?????????????2x?4y?0n?AC,n?AMn?(x,y,z)个法向量，由可得：?，令
2y?2z?0?AN?MDy?OBxCz?1，则
35