??????CD?n6， n?(2,?1,1)。设所求角为?，则sin????????3CDn 所以所求角的大小为arcsin（3）由条件可得，
6。 38,则32,所以PN?AN?NC.在Rt?PAC中，PA?PN?PC10NC55?，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P,
3PC99?????AP?n265106到平面ACM距离为h则h?，所以所求距离为h?。 ??3927nNC?PC?PN?
19（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互 相垂直，△ABE是等腰直角三角形，
AB?AE,FA?FE,?AEF?45?
（I）求证：EF?平面BCE；
（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角F?BD?A的大小。 (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE?平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
36
?平面BCE？若
因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.
11,). 22?????????11???所以EF?(0,?,),BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0).
22????????????????11EF?BE?0???0,EF?BC?0.
22从而，F(0,?所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE?平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
11 ), P ( 1, ,0 ). 22?????11 从而PM=(?1,?,),
22?????????1111于是PM·EF=(?1,?,)·(0,?,?)=0
2222 M ( 0,0,
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PMM∥平面BCE. ????????????8分
????(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为n1，并设n1=（x,y,z）. uuuvBD?（，1?10，） ，
uvuuuv?x?y?0??n1gBD?0?uv?uvuu1 即 ?3
?y?z?0???n1gBF?0?22???取y=1，则x=1，z=3。从而n1?。 （，113，）???取平面ABD的一个法向量为n2?。 （0，0，1）uvuuvuuvuuvn1gn23311cos(n1,n2)?uvuu??。 v11g111n1n2故二面角F—BD—A的大小为arccos14.（本题满分14分）
uuuv31BF?（0，?，）
22311。??????????????12分 11 37
如图，在直三棱柱ABC?ABC111中，AA1?BC?AB?2,
AB?BC,求二面角B1?AC1?C1的大小。
简答：
? 3
2005—2008年高考题
解答题
1. （2008全国Ⅱ19）（本小题满分12分）
D1 A1
C1 B1 如图，正四棱柱ABCD?ABC111D1中，AA1?2AB?4，点E在CC1上且C1E?3EC．
（Ⅰ）证明：AC1?平面BED；
E
D A B C
（Ⅱ）求二面角A1?DE?B的大小．
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D?xyz．依题设，B(2，2，，0)C(0，2，，0)E(0，21，)，A，0，4)． 1(2????????DE?(0，21)，，DB?(2，2，0)，
z D1 A1 ?????????AC，2，?4)，DA，0，4)． 1?(?21?(2????????????????（Ⅰ）证明 因为ACDB?0，ACDE?0， 1?1?故AC1?BD，AC1?DE． 又DB?DE?D， 所以AC1?平面DBE．
38
C1 B1 E D x A B C y
（Ⅱ）解 设向量n?(x，y，z)是平面DAE1的法向量，则
?????????n?DE，n?DA1．
故2y?z?0，2x?4z?0．
令y?1，则z??2，x?4，n?(41，，?2)．
????n，AC等于二面角A11?DE?B的平面角，
cosn,A1C?n?A1CnA1C?14． 42所以二面角A1?DE?B的大小为arccos14． 422. （2008安徽）如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长 为1的菱形，?ABC??4,
OA?底面ABCD, OA?2,M为
OOA的中点，N为BC的中点
（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；
M（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
BANCDx,y,z轴建立坐标系
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22222,0),D(?,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1?,,0), 22244?????????2????2222(1)证明 MN?(1? ,,?1)O,P?(0,?,O2D),??(,?,2)44222????????OP?0,n?OD?0 设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则n??2y?2z?0??2即 ?
??2x?2y?2z?0??22
39
zOMAxBNCPDy
取z?2,解得n?(0,4,2)
?????22∵MN?n?(1?,,?1)?(0,4,2)?0
44?MN‖平面OCD
?????????22(2)解 设AB与MD所成的角为?,∵AB?(1,0,0),MD?(?,,?1)
22?????????AB?MD1?? ∴co?s????,?? , AB与MD所成角的大小为. ???????∴33AB?MD2(3)解 设点B到平面OCD的距离为d，
????则d为OB在向量n?(0,4,2)上的投影的绝对值,
????OB?n2????2?.所以点B到平面OCD的距离为 由 OB?(1,0,?2), 得d?3n33. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面
ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
33133C(,,0),D(,,0),P（0，0，2）,E(1,,0). 22222（Ⅰ）证明 因为BE?(0,3,0)， 2平面PAB的一个法向量是n0?(0,1,0)，
所以BE和n0共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为BE?平面PBE， 故平面PBE⊥平面PAB.
40