????????????????133(Ⅱ)解 易知PB?(1,0,?2),BE?(0, PA?(0,0,?2),AD?(,，0），,0)
222?????????n1?PB?0, 设n1?(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则由??????得 ???n1?BE?0?x1?0?y1?2z1?0,???所以y?0,x?2z.故可取n). ?31111?(2,0,1y2?0?z2?0.?0?x1??2????????????n2?PA?0, 设n2?(x2,y2,z2)是平面PAD的一个法向量，则由???得???????n2?AD?0?0?x2?0?y2?2z2?0,????所以z2?0,x2??3y2.故可取n2?(3,?1,0). ?13y2?0?z2?0.?x2??22
??????????n1?n22315于是，cos?n1,n2?????. ????55?2n1?n2 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos15. 54. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，
其中BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD?平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD.
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32？若存在，求出
AQ 的QDPO?平面PAD，
????????????OD、OP的方向分别为x轴、y轴、 (Ⅱ)解 以O为坐标原点，OC、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
????????＝（?110，，），PB＝（，1?1，?1）. 所以CD所以异面直线PB与CD所成的角是arccos
6， 33， 2(Ⅲ)解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
????????由(Ⅱ)知CP?(?1,0,1),CD?(?1,1,0).
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
?????CP?0,??x0?z0?0,?n?则????所以?即x0?y0?z0， ??x?y?0,CD?0,?00??n?取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
????设Q(0,y,0)(?1?y?1),CQ?(?1,y,0),由
解y=-
??????CQ?nn??1?y33，得?, 22315或y=(舍去)， 22此时
13AQ1AQ?,QD?，所以存在点Q满足题意，此时?.
22QD35. （2007福建理?18）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有 棱长都为2，D为CC1中点。 （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离； （Ⅰ）证明 取BC中点O，连结AO．
?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．
?在正三棱柱ABC?ABC111中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
?AD⊥平面BCC1B1．
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?????????????取BC，y，z轴的正方向建立空间11中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x直角坐标系，则B(100，3)，B1(12，，0)，D(?110)，，，A，，0)， ，2，3)，A(0，1(0????????????，，，BA?AB1?(12，，?3)，BD?(?210)，，3)． 1?(?12?????????????????AB1?BD??2?2?0?0，AB1?BA1??1?4?3?0， ?????????????????AB1⊥BD，AB1⊥BA1．
A ． ?AB1⊥平面ABD1（Ⅱ）解 设平面A，y，z)． 1AD的法向量为n?(xF C O B x D z A1 ????????AD?(?11，，?3)，AA，2，0)． 1?(0?????????n⊥AD，n⊥AA1，
??????n?AD?0，???x?y?3z?0，??y?0，??????????
???2y?0，?x??3z．?n?AA1?0，?令z?1得n?(?C1 y B1
3，01)，为平面A1AD的一个法向量．
由（Ⅰ）知AB1⊥平面ABD， 1????的法向量． ?AB1为平面ABD1????????n?AB1?3?36???． cos?n，AB1??????42?22n?AB1?二面角A?AD1?B的大小为arccos6． 4????（Ⅲ）解 由（Ⅱ），AB1为平面ABD法向量， 1?????????BC?(?2，0，，0)AB1?(12，，?3)．
????????BC?AB1?22?点C到平面ABD的距离． d???????1222AB16.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直 径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径， AB＝AC＝6，OE//AD.
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(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
解 (Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450. 即二面角B—AD—F的大小为450.
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，?3F（0，32，0），B（32，0，0）,D（0，?32，8），E（0，0，8），
2，0）
所以，BD?(?32,?32,8),FE?(0,?32,8) BD?FE0?18?6482. ??10100?82|BD||FE|cos?BD,EF??设异面直线BD与EF所成角为?， 则cos??|cos?BD,EF?|?82 1082 10D1A1DAEBB1CC1直线BD与EF所成的角为arccos7.（2005江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为
?. 4以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1）， E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）
（1）证明 因为DA1,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1,D1E?(1
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?D1E.
（2）解 因为E为AB的中点，则E（1，1，0）， 从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)，
D1A1zB1AD1?(?1,0,1)，
设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，
C1??n?AC?0,则? ??n?AD1?0,也即?DoCEByxA??a?2b?0?a?2b，得?，从而n?(2,1,2)，所以点E到平面AD1C的距离为
?a?c?0a?c??h?|D1E?n|2?1?21??.
33|n|（3）解 设平面D1EC的法向量n?(a,b,c)， ∴CE?(1,x?2,0),D1C?(0,2,?1),DD1?(0,0,1),
??n?D1C?0,?2b?c?0??由? 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
??a?b(x?2)?0.?n?CE?0,∴n?(2?x,1,2). 依题意cos?4?|n?DD1|222???.
2|n|?|DD1|2(x?2)?52∴x1?2?3（不合，舍去），x2?2?3 . ∴AE=2??3时，二面角D1—EC—D的大小为.
4第二部分 四年联考汇编
2010年联考题
题组二（5月份更新）
1．（师大附中理）如图1，P是正方形ABCD所在平面外一点，PD?平面PD?AD，则PA与BD所成的角的度数为
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ABCD，