右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
?1，x?1?x?R，设k?R，函数f(x)??1?x，试讨论函数F(x)F(x)?f(x)?kx，
??x?1，x≥1?的单调性．
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，?ABD?60?，?BDC?45?，PD垂直底面ABCD，PD?22R，E，F分别是PB，CD上的点，且
PEEB?DFFCP ，过点E作BC的平行线交PC于G． E G （1）求BD与平面ABP所成角?的正弦值； （2）证明：△EFG是直角三角形； （3）当
PEEB?12时，求△EFG的面积．
A F B 图5
D
21．（本小题满分12分）
C 2设p，q为实数，?，?是方程x?px?q?0的两个实根，数列{xn}满足x1?p，
4?）． x2?p?q，xn?pxn?1?qxn?2（n?3，，2（1）证明：????p，???q； （2）求数列{xn}的通项公式； （3）若p?1，q?
14，求{xn}的前n项和Sn．
绝密★启用前 试卷类型B
2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题：C D C C A D B B 1．C【解析】z?a?1，而0?a?2，即1?a2?1?5，?1?z?25
2．D【解析】S4?2?6d?20，?d?3，故S6?3?15d?48
3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是
2000?373?377?380?370?500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层
2抽样中应在三年级抽取的学生人数为64??16
84．C 5．A
6．D【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(?p)?(?q)
为真命题
7．B【解析】f'(x)?3?aeax，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f'(x)?3?aeax?0有正根。当有f'(x)?3?aeax?0成立时，显然有a?0，此时x?们马上就能得到参数a的范围为a??3。 8．B
二、填空题：
9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i?3。
r2rrr2r26810．【解析】(1?kx)按二项式定理展开的通项为Tr?1?C6(kx)?C6kx，我们知道x1aln(?3a)，由x?0我
44444的系数为C6k?15k，即15k?120，也即k?8，而k是正整数，故k只能取1。
11．【解析】易知点C为(?1,0)，而直线与x?y?0垂直，我们设待求的直线的方程为
y?x?b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b?1，故待求的直线的方程为x?y?1?0。
12．【解析】f(x)?sin2x?sinxcosx?的最小正周期T?2?2??。
1?cos2x2?12sin2x??22cos(2x??4)?12，故函数
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
???23???cos??3??13．【解析】由?，即两曲线的交点为(23,)。 (??0,0???)解得??62???4cos????6?14．0,
?4????1?15．【解析】依题意，我们知道?PBA??PAC,由相似三角形的性质我们有
PA?AB2PB2?2?12?122PA2R?PBAB,
即R???3。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
?1?116．解：（1）依题意有A?1，则f(x)?将点M(,)代入得sin(??)?，sin(x)??，
3232而0????，??3???3556?，???1213?2，故f(x)?sin(x??2)，
?2)?cosx；
（2）依题意有cos??,cos??，而?,??(0,1213513?sin??3241?()?,sin??551?()?2，
31245565135136512650P(??6)??0.63，P(??2)??0.25 17．解：（1）2，1，-2；?的所有可能取值有6，
200200P(??1)?20200?0.1，P(???2)?4200?0.02
f(???)?cos(???)?cos?cos??sin?sin??????。
故?的分布列为：
? P 6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02 （2）E??6?0.63?2?0.25?1?0.1?(?2)?0.02?4.34 （3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(x)?6?0.7?2?(1?0.7?0.01?x)?(?2)?0.01?4.76?x(0?x?0.29)
依题意，E(x)?4.73，即4.76?x?4.73，解得x?0.03 所以三等品率最多为3%
218．解：（1）由x?8(y?b)得y?18x?b，
2y F G A F1 O B 图4
x 当y?b?2得x??4，?G点的坐标为(4,b?2)，
y'?14x， y'|x?4?1，
过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4即y?x?b?2， 令y?0得x?2?b，?F1点的坐标为(2?b,0)， 由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，?2?b?b即b?1，
x222即椭圆和抛物线的方程分别为
2?y?1和x?8(y?1)；
（2）?过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,
?以?PAB为直角的Rt?ABP只有一个，同理?以?PBA为直角的Rt?ABP只有一个。 若以?APB为直角，设P点坐标为(x,x?1)，A、B两点的坐标分别为(?2,0)和
8(2,0)，
12????????12145222PA?PB?x?2?(x?1)?x?x?1?0。
8644关于x2的二次方程有一大于零的解，?x有两解，即以?APB为直角的Rt?ABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得?ABP为直角三角形。
19．解：
?1?kx,? F(x)?f(x)?kx??1?x??x?1?kx,?11?x?kx(x?1)，
x?1,x?1,x?1,1??(1?x)2?k,，?F'(x)??1x?1,???k,?2x?1?对于F(x)?当k?0时，函数F(x)在(??,1)上是增函数；
1k1k当k?0时，函数F(x)在(??,1?对于F(x)??12x?1?k(x?1)，
)上是减函数，在(1?,1)上是增函数；
当k?0时，函数F(x)在?1,???上是减函数；
11??当k?0时，函数F(x)在?1,1?2?上是减函数，在上是增函数。 1?,????2???4k??4k?20．解：（1）在Rt?BAD中，
??ABD?60，?AB?R,AD??P
3R
E G 而PD垂直底面ABCD，PA?PD?AD22?(22R)?(3R)?2211R
A B C
图5
D F PB?PD?BD22?(22R)?(2R)?23R,
22在?PAB中，PA2?AB2?PB2,即?PAB为以?PAB为直角的直角三角形。 设点D到面PAB的距离为H,
由VP?ABD?VD?PAB有PA?AB?H?AB?AD?PD, 即 H?AD?PDPAHBD??3R?22R11R?26611R，
sin??6611PEEB;
?PGGC(2)EG//BC,?即
PGGC?DFDC?,而
PEEB?DFFC,
,?GF//PD,?GF?BC，?GF?EG,??EFG是直角三角形； 12（3）
PEEB时
EGBC?PEPB?13,
GFPD?CFCD?23,
23PD?42323?22R?492R
即EG?13BC?13?2R?cos45??1223R,GF?12?23423R,
??EFG的面积S?EFG?EG?GF?R?R?21．解：（1）由求根公式，不妨设???，得??p?p?4q22,??p?p?4q22
?????p?p?4q22?p?p?4q22?p，???p?p?4q22?p?p?4q22?q
（2）设xn?sxn?1?t(xn?1?sxn?2)，则xn?(s?t)xn?1?stxn?2，由xn?pxn?1?qxn?2 得，??s?t?p?st?q，消去t，得s?ps?q?0，?s是方程x?px?q?0的根，
22由题意可知，s1??,s2?? ①当???时，此时方程组??s?t?p?st?q的解记为??s1???s2?? 或??t1???t2???xn??xn?1??(xn?1??xn?2),xn??xn?1??(xn?1??xn?2),
即?xn?t1xn?1?、?xn?t2xn?1?分别是公比为s1??、s2??的等比数列，
n?2n?2由等比数列性质可得xn??xn?1?(x2??x1)?,xn??xn?1?(x2??x1)?,