对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0,50]，
(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，
得到频率分布直方图如图5.
（1）求直方图中x的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示．已知57?78125，27?128，
?31825?89125?123912531825?2365?71825
，365?73?5）
31825?2365?解：（1）由图可知50x?1?(解得x?11971825?31825?89125)?50?1?1239125?50，
182501192?50??50)?219； （2）365?(18250365；
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为
119182501?35??50?2522365?50?219365?35，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为
，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为
766537730626311?C7()()?C7()()?.
555578125
18．（本小题满分14分）
如图6，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．
x
G1 E1 z y （1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线FG1?平面FEE1； （3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.
解：（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，连结EE1、EG1、ED、DE1，则所求为四棱锥E?DE1FG1的体积，其底
面DE1FG1面积为
SDE1FG1?SRt?E1FG1?SRt?DG1E1 ?12?2?2??1213?1?2?2， SDE1FG1?EE1?23又EE1?面DE1FG1，EE1?1，∴VE?DE1FG1.
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E1(0,2,1)、G1(0,0,1)，又G(2,0,1)，F(0,1,2)，E(1,2,1)，则FG1?(0,?1,?1)，FE?(1,1,?1)，
FE1?(0,1,?1)，
∴FG1?FE?0?(?1)?1?0，FG1?FE1?0?(?1)?1?0，即FG1?FEFG1?FE1，
，
又FE1?FE?F，∴FG1?平面FEE1.
（3）E1G1?(0,?2,0)，EA?(1,?2,?1)，则cos?E1G1,EA??E1G1?EAE1G1EA?26，设异
面直线E1G1与EA所成角为?，则sin??19．（本小题满分14分）
1?23?33.
2已知曲线C:y?x与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且
xA?xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
wwwk5uom
（2）若曲线G:x2?2ax?y2?4y?a2?5125?0与D有公共点，试求a的最小值．
15解：（1）联立y?x2与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)，设线段PQ的
221中点M坐标为(x,y)，则x?2线C上， ∴2y?52?(2x?12?s25,y?2?t2，即s?2x?12,t?2y?52，又点P在曲
)化简可得y?x?x?122211854，又点P是L上的任一点，且不与点A和，∴中点M的轨迹方程为y?x2?x?118点B重合，则?1?2x?（?14?x?54即??2，
14?x?）.
222（2）曲线G:x?2ax?y?4y?a?即圆E：(x?a)?(y?2)?由图可知，当0?a?与点D有公共点；
225125?0，
75y4925，其圆心坐标为E(a,2)，半径r?222
xA oxB D x2时，曲线G:x?2ax?y?4y?a?5125?0222当a?0时，要使曲线G:x?2ax?y?4y?a?5125?0与点D有
公共点，只需圆心E到直线l:x?y?2?0的距离d?|a?2?2|2?|a|2?75，得
?725?a?0，则a的最小值为?725.
20．（本小题满分14分）
已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值m?1(m?0)．设f(x)?g(x)x．
（1）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点．
W.wwk5uom2解：（1）依题可设g(x)?a(x?1)?m?1 (a?0)，则g'(x)?2a(x?1)?2ax?2a；
又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1
?g(x)?(x?1)2?m?1?x2?2x?m， f?x??g?x??x?m?2，
xx设P?xy22?2)2?x2mo,o?，则|PQ|?x0?(y00?(x0?x)2
02?2x2?m0x2?2m?22m2?2m?22|m|?2m
0当且仅当2x2?m20x2时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值2
0当m?0时，(22?2)m?2 解得m?2?1
当m?0时，(?22?2)m?2 解得m??2?1
（2）由y?fx?xk???k??x1????m2x20(x?0)，得?1?k?x?2x?m?0当k?1时，方程?*?有一解x??mm2，函数y?f?x??kx有一零点x??2；
当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，
若m?0，k?1?1m，
函数y??f??x有
k两x个零点x??2?4?4m(1?k)2(1?k)x?1?1?m(1?k)k?1；
若m?0，k?1?1m，
函数y??f??x有
k两x个零点x??2?4?4m(1?k)2(1?k)x?1?1?m(1?k)k?1；
当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0, k?1?1m,
函数y?f?x??kx有一零点x?1k?1??m
综上，当k?1时, 函数y?f?x??kx有一零点x??m2；
?*?，即
，即
当k?1?1m(m?0)，或k?1?1m（m?0）时， 1?1?m(1?k)k?11k?1函数y?f?x??kx有两个零点x?当k?1?1m；
??m.
时，函数y?f?x??kx有一零点x?21．（本小题满分14分）
已知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为的切线ln，切点为Pn(xn,yn)． kn(kn?0)（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；
1?xn1?xnxnyn（2）证明：x1?x3?x5???x2n?1?解：（1）设直线
2222?2sin.
ln：y?kn(x?1)，联立x2?2nx?y2?0，则
??(2kn?2n)?4(1?kn)kn?02222得
(1?kn)x?(2kn?2n)x?kn?0，∴
kn?n2n?1kn22n（?n2n?122舍去）
x2n?1?k?n(n?1)，即xn?nn?1，∴yn?kn(xn?1)?n2n?1n?1
（2）证明：∵
1?xn1?xn1??1?nn?1?nn?112n?1
x1?x3?x5?????x2n?1?12?34?????2n?12n?13?35?????2n?12n?1?12n?1
∴x1?x3?x5?????x2n?1?xnyn'1?xn1?xn
由于?12n?1?1?xn1?xn22，可令函数f(x)?x?2sinx，则f(x)?1?'2cosx，
sx?令f(x)?0，得co，给定区间(0,?4)，则有f(x)?0，则函数f(x)在(0,'?4)上