高考文科数学 一轮复习
1
（极坐标与参数方程）
第二讲 极坐标与参数方程
目标认知
考试大纲要求：
1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；
3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；
4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别；
5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；
6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。
重点、难点：
1．理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化。
2．理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。
【知识要点梳理】:
知识点一：极坐标 1．极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线
，
为极点，
为极轴，选定一个长度单位
和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点
平面上一点序实数对 就叫做点
的极坐标
的距离
称为极径
，
与
轴的夹角称为极角，有
到极点
的极坐标。
表示非负数；
（1）一般情况下，不特别加以说明时
2
当 当 使求的点。 （2）点
时表示极点； 时，点
，在
的位置这样确定：作射线的反向延长线上取一点
， ，使得
，点
即为所
与点（）所表示的是同一个点，即角与的
终边是相同的。
综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应， 即
，
,
均表示同一个点.
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点
的极坐标
和直角坐标
有如下
关系：
直角坐标化极坐标：
；
极坐标化直角坐标：.
此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
4. 直线的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角为 （2）过
的直线：
或写成
及
.
垂直于极轴的直线：
5. 圆的极坐标方程：
（1）以极点 （2）若
为半径的圆：，以
.
为圆心，，
为直径的圆：
知识点二：柱坐标系与球坐标系：
3
1. 柱坐标系的定义：
空间点
与柱坐标之间的变换公式：
2. 球坐标系的定义：
空间点
与球坐标
之间的变换公式：
知识点三：参数方程
1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标数的函数：
都是某个变
，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那
么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
，
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。
知识点四：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程
（1）经过定点
，倾斜角为的直线的参数方程为：
（为参数）；
，有，
在
，即
表示直线上任一点M到定
)。
其中参数的几何意义：点
的距离。（当
在
上方时，
下方时，
（2）过定点
，且其斜率为的直线的参数方程为：
4
（为参数，为为常数，是直线上一点，则
）；
。
其中的几何意义为：若
2．圆的参数方程
（1）已知圆心为
，半径为的圆
的参数方程为：
（是参数，）；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中，点 交大圆即以
对应的角为为直径的圆于
（过
作
轴，
。
），切不可认为是
5