类型二：参数方程与普通方程互化
4．把参数方程化为普通方程
(1) 参数）；
(，为参数)； （2） (，为
（3）
(,为参数)； （4） (为参数).
思路点拨:
（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参； （2）利用三角恒等式进行消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的
后再代入另一表达式即可消参；
而已，因而消参方法依旧，但需要注意
办法；或把用表示，反解出
（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成、
的范围。
解析： （1）∵
；
又∵
,
, ∴(
,
,,把
,
)
代入得
.
，把
代入得
∴ 所求方程为： （2）∵
又∵，
∴ ,. ∴ 所求方程为(,).
（3）（法一）：,
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又
∴ 所求方程为
(
，
,
).
,
（法二）：由 ∴
得,代入（余略）.
,
（4）由 得, ∴,由得,
当时，；当时，，从而.
法一: 即
（
），故所求方程为
（
，
）
法二: 由 得，代入得，即
∴再将代入得，化简得.
总结升华：
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三：
【变式1】化参数方程为普通方程。
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（1） 【答案】：
(t为参数) ； （2）（t为参数）.
（1）由 ∵
, ∴
得，代入
,
（
，
）
化简得
.
.
故所求方程为
（2）两个式子相除得，代入得，即.
∵ ，故所求方程为().
【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。
A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点
C、双曲线一支，且过点 【答案】： （1）
D、抛物线的一部分，且过点
其中
，
，∴ 半径为5。
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（2），且
，因而选B。
【变式3】（1）直线: A、
B、
(t为参数)的倾斜角为（ ）。 C、
D、
（2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。
A、 【答案】：
B、 C、 D、
（1）C。
，相除得，∴倾斜角为，选
（2），相除得，
∵
，∴ 倾角为，选C。
5．已知曲线的参数方程
)，为参数(
（、为常数）。
（1）当为常数()时，说明曲线的类型；
（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。
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解析：（1）方程可变形为 取两式的平方和，得 曲线是以
为圆心，
（为参数，为常数）
为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,
两式相除，可得 曲线是过点
且斜率
，即
的直线。
,
总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。 举一反三：
【变式】已知圆锥曲线方程为 （1）若为参数， （2）若
。
为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】：（1）方程可化为
消去,得：
∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
（2）方程化为，
消去，得，
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