2006年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m}．若B?A，则实数m＝ ． 2．已知圆x－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是 ． 3．若函数f(x)＝a（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a＝ ．
3Cn4．计算：lim3＝ ．
n??n?1x225．若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ．
??1?，且?是第四象限的角，那么cos(??)＝ ． 527．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭
6．如果cos?＝
圆的标准方程是 ． 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－
?35?），则△OAB的面积是 ． 69．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
211．若曲线y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 ．
12．三个同学对问题“关于x的不等式x＋25＋|x－5x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
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13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC；
??????
??????
???????????????????D C
A B （C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件． 15．若关于x的不等式(1?k2)x≤k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有[答（] ） （A）2∈M，0∈M； （B）2?M，0?M； （C）2∈M，0?M； （D）2?M，0∈M． 16．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常
l1数p≥0，q≥0，给出下列命题： ①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
M（p，q）
有且仅有1个；
l2
②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为
O （p，q）的点有且仅有2个； ③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 求函数y＝2cos(x?4?4)cos(x??4)＋3sin2x的值域和最小正周期．
18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？ [解]
北
B
A 20 ?
10
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
??C 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． P （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． D E [解]（1） A O
B
2
???C
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA?OB＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an?1＝(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1． （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a＝2
22k?1??????，数列{bn}满足bn＝
1log2(a1a2???an)（n＝1，2，┅，2k），求数n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－|≤4，2222列{bn}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－求k的值．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
已知函数y＝x＋数，在[a有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函xa，＋∞)上是增函数．
2b（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；
xc2（2）研究函数y＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
xaa2（3）对函数y＝x＋和y＝x＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
xx函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝
111(x2?)n＋(2?x)n（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的
2xx研究结论）．
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2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）
数学试卷(理工农医类)
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数y?lg(4?x)的定义域是 ．
x?3x的反函数fx?12x?my?1?0与直线l2：y?3x?1平行，则m? ． 2．若直线l1： 3．函数f(x)??1(x)? ．
4．方程 9x?6?3x?7?0的解是 ．
5．若x，y?R+，且x?4y?1，则x?y的最大值是 ． 6．函数y?sin?x???π3π????sin?x??的最小正周期T? ．
2???2345中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 7．在五个数字1，，，， （结果用数值表示）．
x2y2??1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 8．以双曲线45 ． 9．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立： ① a?1?0； ② (a?b)2?a2?2ab?b2； a2 ③ 若|a|?|b|，则a??b； ④ 若a?ab，则a?b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知?，?是两个
4
相交平面，空间两条直线l1，l2在?上的射影是直线s1，s2，l1，l2在?上的射影是
直线t1，t2．用s1与s2，t1与t2的位置关系，写出一个总能确定l1与l2是异 面直线的充分条件： ． 11．已知P为圆x2?(y?1)2?1上任意 一点（原点O除外），直线OP 的倾斜角为?弧度，记d?|OP|． d) 在右侧的坐标系中，画出以(?， 为坐标的点的轨迹的大致图形为
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
12．已知a，b?R，且2?ai,b?i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程
x2?px?q?0的两个根，那么p，q的值分别是（ ） Ａ．p??4，q?5 Ｃ．p?4，q?5
Ｂ．p??4，q?3 Ｄ．p?4，q?3
13．设a，b是非零实数，若a?b，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．a?b Ｂ．ab?ab Ｃ．
2222ba11? ? Ｄ．22ababab??14．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
ABC中，若AB?2i?j,????AC?3i?kj，则k的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
15．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推
2 出f(k?1)≥(k?1)成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 Ｂ．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
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