20．（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全
B7 B8
等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等B6
B1
分．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装
B5 上底面）．
B2
B3 B4 (1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出
该最大值（结果精确到0.01平方米）；
(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值
A8 A7 A
6
表示）． A1
A5
A2
A4 A3
22．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．
若实数x、y、m满足|x?m|﹥|y?m|，则称x比y远离m． (1) 若x2?1比1远离0，求x的取值范围；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3?b3比a2b?ab2远离2abab； (3) 已知函数f(x)的定义域D?{x|x?k???,k?Z,x?R}．任取x?D，f(x)等于sinx和24cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）
23．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
x2y2已知椭圆?的方程为2?2?1(a?b?0)，点P的坐标为(?a,b)．
ab?????1????????(1) 若直角坐标平面上的点M、A(0,?b)、B(a,0)满足PM?(PA?PB)，求点M的坐标；
2b2(2) 设直线l1:y?k1x?p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y?k2x于点E．若k1?k2??2，
a证明：E为CD的中点；
(3) 对于椭圆Γ上的点Q(acos? ,bsin? )(0
理科参考答案
一、填空题
1．(?4,2)； 2．6?2i； S?a；
3．y2?8x； 4．0；
5．3； 6．8.2； 7．S←
21
8．(0,?2)； 9．
7； 2610．45； 11．1； 12．82； 13．4ab?1； 14．36． 3二、选择题 15．A； 16．C； 17．C； 三、解答题
19．原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0．
18．D．
520．(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以an?1?(an?1?1)，
6又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列；
?5?(2) 由(1)知：an?1??15????6??5?Sn?75????6?n?1n?1?5?，得an?1?15????6?n?1，从而
?n?90(n?N*)；
n?1?5?解不等式Sn 21．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l?1.2?2r(0 所以当r?0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； ?????(2) 当r?0.3时，l?0.6，建立空间直角坐标系，可得A1B3?(?0.3,0.3,0.6)， ??????A3B5?(?0.3,?0.3,0.6)， ??????????????????????A1B3?A3B52??， 设向量A1B3与A3B5的夹角为?，则cos????????????|A1B3|?|A3B5|32所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为arccos． 322．(1) x?(??,?2)?(2.??)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a3?b3?2abab，a2b?ab2?2abab， 因为|a3?b3?2abab|?|a2b?ab2?2abab|?(a?b)(a?b)2?0， 所以|a3?b3?2abab|?|a2b?ab2?2abab|，即a3?b3比a2b?ab2远离2abab； ?3??sinx,x?(k??,k??)??44(3) f(x)??， ???cosx,x?(k??,k??)??44性质：1?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2?f(x)是周期函数，最小正周期T??2， 22 3?函数f(x)在区间(k??k?k?k???,]单调递增，在区间[,?)单调递减，k?Z， 2422242,1]． 24?函数f(x)的值域为(ab23．(1) M(,?)； 22?y?k1x?p?(2) 由方程组?x2y2，消y得方程(a2k12?b2)x2?2a2k1px?a2(p2?b2)?0， ?2?2?1b?a因为直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点， 所以?>0，即a2k12?b2?p2?0， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， ?x1?x2a2k1p??22?x0?2ak1?b2?则?， 2bp?y?kx?p?10?0a2k12?b2??y?k1x?p由方程组?，消y得方程(k2?k1)x?p， y?kx?2?a2k1pp??22?x0?x?2k?kak?bb2?211又因为k2??2，所以?， 2ak1bp?y?kx??y02222?ak?b?1故E为CD的中点； (3) 求作点P1、P2的步骤：1?求出PQ的中点E(?2?求出直线OE的斜率k2??b(1?sin?)， a(1?cos?)a(1?cos?)b(1?sin?),)， 22????????????b2b(1?cos?)3?由PP根据(2)可得CD的斜率k1??2?， 1?PP2?PQ知E为CD的中点，ak2a(1?sin?)4?从而得直线CD的方程：y?b(1?sin?)b(1?cos?)a(1?cos?)?(x?)， 2a(1?sin?)25?将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标． 欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内， ?2(1?cos?)2(1?sin?)21所以， ??1，化简得sin??cos??，sin(??)?44244??2??3?又0 444444 23 故? 的取值范围是(0, ?4?arcsin2)． 42009年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理科卷） 考生注意： 1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上 条形码 . 2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 . 一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 . 1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数z=__________________ . R2． 已知集合A??x|x?1?，且A?B?B??x|x?a?， 则实数a的取值范围是______________________ . ， 4 5 x3． 若行列式1 x 3中，元素4的代数余子式大于0， 7 8 9则x满足的条件是________________________ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x 满足的关系式是____________________________ . 5．如图，若正四棱柱ABCD?A高 为1BC11D1的底面连长为2，4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 6．函数y?2cosx?sin2x的最小值是_____________________ . 2 24 7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量?表 示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E?____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1?2R2?3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是___________. w.w.w..s.5.u.c.o.m x2y29.已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 abPF1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF10.在极坐标系中，由三条直线??0，??________. w.w.w..s.5.u.c.o.m ?3，?cos???sin??1围成图形的面积是 11.当0?x?1时，不等式sin?x2?kx成立，则实数k的取值范围是_______________. 12．已知函数f(x)?sinx?tanx.项数为27的等差数列?an?满足an???????，?，且公22??差d?0.若f(a1)?f(a2)???f(a27)?0，则当k=____________是，f(ak)?0. 13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。 2)，(3，1)，(3，4)，若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(?2，(?2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站， 使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.14.将函数y? w.w.w..s.5.u.c.o.m 6?)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角4?6x?x2?2(x??0，?(0????)，得到曲线C.若对于每一个旋转角?，曲线C都是一个函数的图像，则?的 最大值为__________. w.w.w.s.5.u.c.o.m 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。 “?2?a?2”15.是“实系数一元二次方程x?ax?1?0有虚根”的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 2 25