考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 过F作ME⊥AD于E，可得出四边形ABME为矩形，利用矩形的性质得到AE=BF，
AB=EM，分两种情况考虑：（i）当G在AB上，B′落在AE上时，如图1所示，由折叠的性质得到B′M=BM，BG=B′G，在直角三角形EMB′中，利用勾股定理求出B′E的长，由AE﹣B′E求出AB′的长，设AG=x，由AB﹣AG表示出BG，即为B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AG的长，进而求出BG的长，在直角三角形GBM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长；（ii）当G在AE上，B′落在ED上，如图2所示，同理求出B′E的长，设A′G=AG=y，由AE+B′E﹣AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，求出AG的长，由AE﹣AG求出GE的长，在直角三角形GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长，综上，得到所有满足题意的折痕MG的长．
解答： 解：分两种情况考虑：
（i）如图1所示，过M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四边形ABME为矩形，
∴EM=AB=16，AE=BM， 又∵BC=40，M为BC的中点， ∴由折叠可得：B′M=BM=BC=20， 在Rt△EFB′中，根据勾股定理得：B′E=∴AB′=AE﹣B′E=20﹣12=8， 设AG=x，则有GB′=GB=16﹣x，
在Rt△AGB′中，根据勾股定理得：GB′2=AG2+AB′2， 即（16﹣x）2=x2+82，解得：x=6， ∴GB=16﹣6=10，
在Rt△GBF中，根据勾股定理得：GM=
=10
； =12，
（ii）如图2所示，过F作FE⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四边形
ABME为矩形，
∴EM=AB=16，AE=BM， 又BC=40，M为BC的中点， ∴由折叠可得：B′M=BM=BC=20， 在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E=∴AB′=AE﹣B′E=20﹣12=8，
设AG=A′G=y，则GB′=AB′﹣AG=AE+EB′﹣AG=32﹣y，A′B′=AB=16， 在Rt△A′B′G中，根据勾股定理得：A′G2+A′B′2=GB′2， 即y2+162=（32﹣y）2，解得：y=12， ∴AG=12，
∴GE=AE﹣AG=20﹣12=8，
在Rt△GEF中，根据勾股定理得：GM=综上，折痕FG=10故答案为：10
或8
或8．
．
=8
， =12，
点评： 此题考查了翻折变换﹣折叠问题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，勾股定理，利
用了方程、转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．
三、解答题
1．（2014?江苏省南通市,第27题13分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G． （1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形； （2）若点G与点C重合，求线段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．
考点：四 边形综合题． 分析：（ 1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形； （2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM2=EC2﹣EM2，利用线段关系求出CM． （3）作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值． 1）证明：∵四边形ABCD是矩形， 解答：（∴∠A=∠MDF=90°， ∵M为边AD中点， ∴MA=MD 在△MAE和△MDF中， ∴△MAE≌△MDF（ASA）， ∴EM=FM， 又∵MG⊥EM， ∴EG=FG， ∴△EFG是等腰三角形； （2）解：如图1，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4， ∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2， ∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20， ∵CM2=EC2﹣EM2， ∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2， ∴CM=． （3）解：如图2，作MN⊥BC，交BC于点N， ∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ∴EM==，MD=AD﹣AM=4﹣a， ∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF， ∴△MAE∽△MDF ∴=， ∴=， ∴FM=∴EF=EM+FM=∵AD∥BC， ， +=，
∴∠MGN=∠DMG， ∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°， ∴∠AME=∠DMG， ∴∠MGN=∠AME， ∵∠MNG=∠MAE=90°， ∴△MNG∽△MAE ∴=， ∴=， ∴MG=， ×=+6， ∴S=EF?MG=×即S=当a=+6， 时，S有最小整数值，S=1+6=7． 点评：本 题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是利用三角形相似求出线段的长度．
1. （2014?福建三明，第23题10分）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA． （1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；
（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC， ①AE与OD的大小有什么关系？为什么？ ②求∠ODC的度数．
考点： 直线与圆的位置关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出