第三章 一元函数积分学
2013考试内容
原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定
积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用
2013考试要求
1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分
法。
3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。
掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。
第一节 一元函数积分学之一（原函数）
一、 原函数的概念及其等价描述
1．概念：设有函数f?x?和可导函数F?x?，如果对区间?a, b?上的任何一点x，都有
F??x??f?x?，则称F?x?为f?x?在区间?a, b?上的一个原函数。F?x??c构成f?x?的全体原函数，叫做f?x?的不定积分，记为：?f?x?dx?F?x??c。 2．原函数的性质：
● F??x??f?x??limF?x??x??F?x?，且原函数F?x?一定是连续函数；
?x?0?x● 验证F?x?是否为f?x?的原函数，分两步 第一步：F?x?在区间上是否连续； 第二步：验证F??x??f?x?是否成立。
x?● 当f?x?连续时，则f?x?一定有原函数，且?f??0???tt??d???f?x因为，
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xF?x??x??f?X?1?x??x?lim??f?t?dt??f?t?dt??0?0?x?0?x?0?x???x。
1?x??x1积分中值定理?lim??f?t?dt???????=lim?f????x?f?x??x??x?0?x??x?0?x?F??x??lim?x● 当f?x?存在第一类间断点时，则f?x?一定没有原函数，??f?t?dt??f?x?；当f?x??0???存在第二类间断点时，则f?x?可能有也可能没有原函数。
● 当f?x?连续时，则f?x?一定有原函数，且可以写成F?x???f?t?dt；当f?x?不连续
ax时，F?x???f?t?dt却不一定是f?x?的原函数，但F?x???f?t?dt在区间内必连续。
aaxx● 连续奇函数的原函数为偶函数；连续偶函数的原函数为奇函数与常数之和。
二、 与原函数有关的题型
e2lnx【例 1】设为f?x?的原函数，求I??xf??x?dx。
ex 解：
?lnx??1f?x?????2?1?lnx??x?x1f?e??0, f?e2???2eI??e2e
e2xf??x?dx?xf?x?|??f?x?dx??1?ee2elnxe211|e??2?1xee【例 2】下列命题不正确的是
?A?若f?x?在区间?a, b?的某个原函数是常数，则f?x?在区间?a, b?恒为零 则f?x?所有原函数是常数 ?B? 若f?x?在区间?a, b?的某个原函数为零，
?C?若f?x?在区间?a, b?不是连续函数，则f?x?在区间?a, b?必无原函数 ?D? 若F?x?是f?x?的任意一个原函数，则F?x?必定为连续函数 解：根据原函数的定义有：F??x??f?x?，显然?D?正确。但读者要快速判断清楚其余三个错在哪里。
【例 3】设F?x?是f?x?在区间I上的原函数，则
B ?F?必为初等函数但未必有界 x?A? F?x?必为初等函数且有界 ? ?
I ? ? D ?F?在 x上必连续但未必有界I?C? F?x?在上必连续且有界
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解：由于F??x??f?x?，故F?x?在I上必连续，但未必有界，例如：是lnx，而lnx在?0, 1?上就无界。故选 ?D?
【例 4】设a?0, f?x?在区间??a, a?连续，则在??a, a?上
1在?0, 1?上的原函数xB?A? f?cosx?的全体原函数为奇函数? ? ?f??x??f??x??x?的全体原函数为偶函数?C? f?2x?有唯一原函数为奇函数 ? D ?f??x??f??x???x?的任意原函数既不是奇函数也不是偶函数
解：只有奇函数的原函数才一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是，显然
f?cosx?和x??f?x??f??x???都是偶函数，故?A?, ?B?, ?D?不正确，而
f?x2?的一个原函数为 F?x?=?ft2dt，而F??x?=?0x???x0u??tf?t2?dt??????f?u2?du??F?x?
0x故F?x?为奇函数，所以?C?正确。
【例 5】设F?x?是f?x?在区间?a, b?的一个原函数，则F?x??f?x?在在?a, b?上
? B ? 连续?A? 可导
?C? 存在原函数 ?D? 是初等函数解：F??x??f?x?，故F?x?必连续，F?x?必存在原函数，故?C?正确。
?x?1, x?0?【例 6】f?x????x，则f?x?的原函数是： ???x??esin?2e?, x?0????12?12x?x, x?0x?x, x?0???2?2 ?B? F?x????A? F?x???2???x?????cos?e?x?, x?0?2cos??e?, x?0???2??2?????
11?12?12x?x?, x?0x?x?, x?0??222?2 D Fx??C? F?x?????????2???x?1???x?cos?e?, x?0??2cos??e??, x?0???2????2?2??解：?C?, ?D?中F?x?在x?0点不连续，故都不是f?x?的原函数，?A?不满足F??x??f?x?，
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故也不是f?x?的原函数，因此?B?正确。
?x2?1, x?0x?【例 7】f?x???, F?x???f?t?dt，则： ??1?cosx?, x?0?4 +??上可微，但不是f?x?的原函数?A? F?x?为f?x?的一个原函数 ?B? F?x?在?-?，
+??上不连续 ?D? F?x?在?-?， +??上连续，但不是f?x?的原函数?C? F?x?在?-?，
解：
f?x??1? ?A?lim+x?0?4, limf?x??1, x?0为第一类间断点，故?A?不正确。 ?x?0 ?B? 不正确，理由在?C?的分析中。
?C?当f?x?有第一类间断点x0??a, b?， 但在?a, x0?和?x0, b?内必连续，可以证明：
F?x???f?t?dt, x??a, b?为?a, b?上的连续函数。对本题我们有：
ax134?x2x?1dx?x?x?, x?0?????133?F?x???
0x???4???x2?1?dx??cosx??dx?sinx?x?, x?0??0??4?43??1显然，F?x?是连续的。但是：
?4??134??sinx?x??x?x?????43??33??F??x??lim不存在，即不可导?F??x??f?x?
x?0?x故?B?不正确。 ?D?正确。
1211??2?2xcos2?sin2, x?0?xcos2, x?0【例 8】f?x???。则在???, ???, F?x???xxxx???0, x?0?0, x?0内下列正确的是：
F?x?可微，且为f?x?的原函数 ?A?f?x?不连续且不可微， 不存在原函数 ，因而F?x?不是f?x?的原函数?B? f?x?不连续，
?C?f?x?和 F?x?均为可微函数，且 F?x?为f?x?的一个原函数 ?D? f?x?连续，且F??x??f?x?
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解：可以验证x?0为f?x?的第二类间断点，因为：
21 limf?x??0?limsin2，故x?0为f?x?的第二类振荡间断点，可能存在原函数。
x?0x?0xx又：
1?02xF??0??lim?0, 故F?x?可微。 即：x?0x?0121??2xcos2?sin2, x?0x2cos F??x????xxx?0, 而F?x?连续，故?A?正确。
?f?x? x?0107