I?1??2?dxdx?1??21?tgx?ctgx ??201?tg?x?1?????2?01?tg?xdx?4?4sin2【例44】 I??x??1?e?xdx
4 解: 利用：
?l?lf?x?dx?12?l?l?f(x)?f(?x)?dx= ?l0?f(x)?f(?x)?dx I??1????4sin2x??2???dx?41?e?x?4sin2x?1?4?11??exdx???2????1?e?x?1?x?241?4?e?sinxdx?1?2?41??(1?cos2x)dx
42?1?2?40(1?cos2x)dx??18?4【例45】 设f?x??limx??1??t??t2sint??g??2x?t???g?2x???，g?x?的一个原函数为ln?x?1?，I??10f?x?dx。
解：
sinx?f?x??limt?g??2x?1??t??g?2x??t??x?x?????1???xg??2x?t??t??I??112x?2t10f?x?dx??0xg??2x?dx???t??02g??t?2dt ?12121???4??tg?t???|0?4?0g?t?dt?4??t?ln?t?1????|20?14??ln?t?1???|20?1?24??3?ln3???
【例46】f?x?连续，（1）求证：?????20xf?sinx?dx?2?0f?sinx?dx???0f?sinx?dx
（2）求I???xsin20xcos2xdx
解：（1）令x???t sinx?dx?0?f??dt?
??0xf?????t?sin???t????dx????f?sint???00tf?sint?dt???xf?sin??
0x?dx?2?0f?sinx?dx又因为：
求
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???f?sinx?dx2?0??0f?sinx?dx???f?sinx?dx2?????x???t??20f?sinx?dx??0?f?sin???t????dt??2?2f?sinx?dx
20??22???0f?sinx?dx???0f?sinx?dx
（2）
I????xsin2xcos2xdx?? 0?20sin2x?1?sinx2?dx????华里氏公式?
=???1?312?2?2????4?2?2???1647】 I??1ln(1?x)dx01?x2
解：令 x?tantd?xs2ect dtI??1ln(1?tant)?2?cost?sin01?tan2tsectdt??4t?0ln??cost??dt?????2sin?t??4?4??0lncostdt
??????40ln2dt??40lnsin(4?t)dt??40lncostdt??ln2??0???8??lnsin(?u)du?42?40lncosdt?8ln2?48】 I??2sinxdx01?sixn?cxo s
解：令 t?tanx2x?2arctt an2tI??11?t20?2dt?1?2t?11?t10(1?t2?1?t)1?t2?1?t21?t2dt1?t2 ???11?t2??1?arctant?2ln(1?t)2????ln2042?x2x49】求f?x???, x?0?x?????costdt, ???x?0的极值。
2 解：先分段求极值， 再讨论分段点处的连续性。
【例【例 【例
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?x2x, x ? ?2xlnx?2x?l?n?210?x0 f?x???? ?0f??x?e??e
?x?????costdt,? ? ?x??0f??x??xc?os?x00???22 又当0?x?1e?f??x??0;x?1e?f??x??0?极小值f??1??2?e???ee
f??????????sin?????1?0极小值f????2??2???????2??? 1 在x?0处
lim2xx?0?f?x??xlim?0?x?1 limx?0?f?x??limxx?0????costdt??0?costdt?1 2?2f?0???0??costdt?12 ?f?x?在x?0处连续；但
ff?x??f?0?x2x?1e2xlnx?12xlnx???0??xlim?0?x?xlim?0?x?xlim?0?x?xlim?0?x???导数不存在， 但当x很小时，x?0?f??x??0; x?0?f??x??0，故f?x?在x?0处取得极大值1。
【例50】设f?x?在?0, 1?上可导，f??x??0，求??x???10f?x??f?t?dt的极值点。
解：f??x??0?f?x???f?x??f?t?????f?x??f?t?, 0?t?x??f?t??f?x?, x?t?1
??x???x10??f?x??f?t???dt??x??f?t??f?x???dt?xf?x???1?x?f?x???xf?t?dt??1f?t?dt??2x?1?f?x???xf?t?dt??10x0xf?t?dt ???x???2f?x???2x?1?f??x??2f?x???2x?1?f??x?
???x???0?x?12x?12???x???0;x?12???x???0 故：x?12是??x?的极小值点。 【例51】计算积分 I???0xsin10xdx 解：
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华里氏公式0?????=?? I??xsinxdx???2sin1xdx1000??97531?63?????=? 。 1086422512评 注 定积分的计算主要方法还是换元、凑微分和分步积分，目的也是“两去”，即去根号
和去分母；基础手段是对称区间公式、周期函数积分公式和代数面积几何法。
2、几何法
【例52】 利用几何法计算下列积分： ?1?I1???1?x?d x ?2? I2??01104?xd x ?3? I3??21021?4xd x解：
111 ?1?I1等于边长长1 的三角形面积。I1???1?x?dx??1?1?
022 ?2?I2等于边长为1?1?3的三角形和就、张角等于的弧形面积之和。
62 I2??1011?3?4?x2dx??1?3???22??
226231?3?I3等于4椭圆2?1的面积。
I3??10121?4xd?x?4211?a?b????1 4282 评 注 读者可以利用公式?x2a2x2a?xdx?a?x?arcsin?c验证上述结论；这类题型
22a只有在积分区域为圆或圆上的一部分或椭圆上规范区域（一般由上下限决定）才能够使用几何法。
【例53】设f?x?在?0, 1?上连续且递减，0???1，证明：?f?x?dx???f?x?dx
00?1??f?证明：使用区间变换。?a, b???0, 1? 使用变换 ?f?x?dx????x?t???x??t?dt a0bt?x?ab?a1??0?f?x?dx?????f??t??dt???f??t?dt00t?x11??f?x?dx???f?x?dx???f??t?dt???f?x?dx????f??t??f?x???dt00000? 又 ，0???1, f?x?递减??t?t?f??t??f?t??1111
????f??t??f?x???dt?00???f?x?dx???f?x?dx001?1 136
【例54】求xlim1x???x?0sintdt
解：???k?1???k?sintdt??0sintdt?2
设x以这种方式趋于正无穷大：n??x??n?1????
??n?x?n?1??0sintdt??0sintdt??0sintdt?n?0sintdt可从几何意义上计算，因为三角正弦或余弦每一个拱形面积等于2被积函数加上绝对值后的定积分几何意义为几何面积（没有绝对值则为代数面积）??n?0sintdt?n?2?2n; 同理 ??n+1??0sintdt??n+1??2?2?n+1?
2n?n?1???1x?x0sintdt?2?n?1?1x2n??xlim???x?0sintdt??
【例55】 I??2dx1x3x2?2x?1 解：
??I??2dxlimdxd1?1x3x?1?21??x3x2?2x?1?lim?2(1?x)??0??????1?1??22?(1?2?
???x?1????0??x)??
1?1 ??limx2?lim??arcsin2???arcsin3???0?arcsin21????0??2(1??)4????2?arcsin34【例56】 I????dx??x2?4x?9??0dx??dx??x2?4x?9?0?2x?4x? 9 解：
I?0dx?lim????limbdxa(x?2)2?5?b????0(x?)2?5 ?1x?20alim???lim1x?2b5arctan5a?b???5arctan50
???121?5arctan5?5???????1?12????2???????5?2?5arctan5???5【例57】求I????dx1xx?1
解： 混合反常积分问题的题型
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