2??dxdxdxI?????? ?也可以选用其他有效常数分界点?112xx?1xx?1xx?121dx2tdt?x?1?t1???????2arctant|?0?1xx?1?0t?t2?1?2
?????2??dx2tdt?????x?1?t??????????2arctant|?21????21t?t?1?xx?1?24?2I??【例58】 讨论积分的值：I??解：首先需要判敛。由于 limx?13212dxx?x2
x?x?x?1为基准收敛反常积分1?lim?1??????????原反常积分收敛。 x?1xx?123212dxx?x2?0?得分界点 x?0, 1，但在积分区间只有x?1是被积函数的瑕点。故
I??11dxx?x221??321dxx2?x2321 ??1dx1?1???x??4?2?12??dx1?1?x????2?4?2
31??2x????2???1?22 ?arcsin??ln??x???x?x???ln2?31?2??????12???2?1??211【例59】试证明：???x2lnxdx?0。
2e0x2lnx1幂函数比对数函数阶次高???0。根据证明：先判敛：选基准“大收小收” ?lim1?limx2lnx???????x?0x?0xx2 的原则，原反常积分收敛。
要证明原不等式，右边很简单，因为在区间?0， 1?内x2lnx?0，由积分保序性知
3?x012lnxdx?0。左边只要在区间?0， 1?内求出f?x??x2lnx的最小值即可。
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f??x??x?2lnx?1??0?x?e??0, 1?11??????又, x??0, e2??y??0, x??e2, 1??y??0?????12??1?1 ?f?x? 的极小值为 f?e2??? 2e??而： limx2lnx?0, limx2lnx?0?f?x? 的最小值为???x?0x?111? ???x2lnxdx?02e0
1 2e【例60】设f?x??积存在，并求之。 解：依题意是求?e?x??e?xe?1e?xdxe2x?12x，证明：曲线y?f?x?在区间?ln2, ???上与x轴围成的区域右面
ln2，由于是无穷区间的反常积分，选基准收敛函数
1 x2?x2x??edxx2e?xx2e?x2e?1?lim?lim?0，根据“大收小收”的原则，故? lim收
2x?2xx??x??x??2xln21e?11?ee?12x敛，面积存在。则
???e?xdxe2x?1ln2???????????????5?x?ln?ste?c令 ex=set?c?xedx?setcttdta?ndx??dttan?23?cost?tatn2dt?sint?|??1tant32
3【例61】求I??x2?2x?3dx
?2解：令x2?2x?3?0?x1??1, x2?3，利用画数轴的方法容易得出各积分子区间。
I???1?2?x2?2x?3?dx??103?1?x2?2x?3?dx???x2?2x?3?dx?3571 3【例62】求I??tt?xdt
解：令t?x?0?t?x，故x??0, 1?而不能取其他区间的值。
11xx?0?I??t?t?x?dt??032 0?x?1?I??11311 tt?xdt?tt?xdt?x?x??????0?x3231x1x?1?I???t?t?x?dt??023x 评 注 对于含参积分问题，必须优先明确参数的取值范围，写出分段函数形式。
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第四节 定积分的应用
元素法总则：在微分元范围内，任何曲线和直线等价，任何物理变量可以用常量代换。 一、5
大几何应用
陈氏第5技 上下原函横面积，左右反函横周长；两轴轮换形除外，平移双函识减符。
1.1 平面图形的面积应用
???几何面积：S???baf(x)dx ?如图阴影部分，恒大于零???代数面积：S??baf(x)dx ?有正负值?
称为左右曲不相交图形
?S??dc??(y)??(y)?dy，
称为上下曲相交图形
?S??ba?f(x)?g(x)?dx
??x?x(t)2?y?y(t)?S??tty(t)x'(t)dt
1 140
?S?1?2?(?)d???2
?S?1?22??(?)??(?)?d?21????2
评 注 既然是定积分应用，当然积分方向以常数区间为准。对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近），对左右曲不相交图形，被积函数为右反函数减去下反函数（远减近），对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在的位置定正负。 1.2 平面曲线的弧长 ds?(dx)2?(dy)2 y?f(x)?l?? ?ba21?y?xdxt2?x?x(t)?l??t1?y?y(t)?x?(t)???y?(t)?dt
?2(?)???2(?)d?22???(?)?l??1.3 旋转体积
?2?1Vx???y2?x?dxab ?
Vy?2??x?y?x?dxab 141
22Vx????y(x)?y(x)?22?dxa?b 设?y2为远曲线，y1为近曲线 Vy?2??x?y2(x)?y1(x)?dxab Vx?2??y??x2?y??x1?y???dyc评 注 对左右曲图形?2Vy????x2y??x12?y?????dycdd 。如果旋转轴为平行于x或y的直线，
比如上下曲绕x?t，如t在两曲线的上方，则旋转的体积，则计算如下（其余类推）： 设y1?f1?x?为离旋转轴的近曲线，y2?f2?x?为离旋转轴的远曲线，则体积元及体积为：
dv????t?f2?x???dx????t?f1?x???dx
22??dx???t?f2?x????t?f1?x???????t?f2?x????t?f1?x??????dx??2t?f1?x??f2?x?????f1?x??f2?x????Vx?t????2t?f1?x??f2?x?????f1?x??f2?x???dxa?b
形象记忆法：上述公式靠死记是不行的，时间长了必会混淆，但你仔细观察一下有规律： 上下曲绕x及其平行轴和上下曲绕y及其平行轴利用圆面积，其余情形用圆的周长。而且上下曲，定积分方向为x，左右曲为y，这是定积分要求的；Vx和Vy在形式上满足“导数”关系；还有个特征就是x，y是交替出现的，如Vy?2??x?f2(x)?f1(x)?dx中Vy?x，而
abVx?2??y????y????y???dy中Vx?y。 c1.4 旋转体的侧面积（对于上下曲图形）
dSx?2??y1??y??dx Sy?2??x1??y??dx aab2b2 形象记忆法：x，y交替出现。 1.5 形心（重点）
质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心是重合的。
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