为偶数时，分母每项也为偶数，分子相应递减，且结论最后一项为
??（半?）。 2如：
?20(cos7x?sin8x)dx?6?4?27?5?3???
7?5?38?6?4?22???●如积分区域不是?0, ?，常用的转换公式有：
?2??a????2020f(sinx)dx??f(cosx)dx; ?f(sinx)dx??f(cosx)dx; ?sinxdx?2?2sinnxdx 0000????n??2?2??4?2sinnxdx, n为偶数nn ?b? ?0sinxdx??0cosxdx??0??0, n为奇数 ⑧
??0xf?sinx?dx???f?sinx?dx???2?0??20f?sinx?dx; ?xsinxsinx2 如： ?dx?2??01?cos2xdx ??1?cos2x?e???sinax??kx?e???cosax??kx⑨
?ekxsinaxdx?ekxsinaxekxcosaxkx?c; ecosaxdx??c 2222?a?ka?k
⑩ 具有特殊功能的定积分四大区间变换
使用变换 ?a, b???0,? 1?babf ? x?dx?????f??x?t???x??t?dt0f ?x?dx???????f??x?t???x??t?dtct?x?a?d?c??cb?adt?x?ab?a1; ?a, b???c, ?d使用变换 ?a 1x t? ?x另外在某些场合还需使用倒数变换：, t??a, b???b,a ?使用反号变换 评 注 区间变换广泛用于积分的合并与拆分，也是处理含参积分问题和大部分积分证明题 的主要手段。
二、反常积分的判敛和计算方法
2.1 反常积分的几何意义
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反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限值时，函数在一点的值发散，不会导致面积的发散。 例如
?adxa?x220 ?a?0?的几何意义是：位于曲线y?1a?x221a?x22 之下，x轴之上，直线x?0与
x?a之间的图形面积，而x?a点的值虽使y?
2.2 反常积分的两种类型
发散，但面积可求。
?a? 无穷区间的反常积分
?????f(x)dx?lim(?)?fxdxa???acb???c?lifmxdx (b?b? 无界函数的反常积分，又称瑕积分（每个被积函数只能有一个瑕点）
?
babb??limf(x)dx???0-?f(x)dx (f(x)右端点无界)abf(x)dx??limf(x)dx (f(x)左端点无界)?0+?a??c??+?limlimf(x)dx???0+?f(x)dx +??0+?f(x)dx (f(x)区间内点无界)ac+??a
???a其中：x??b或?a?f(x)??
评 注 如果反常积分为上述两类的混合型，则拆分几分区间，使原几分为无穷区间和无界函 数两类反常积分之和，参见【例55】。
2.3 数学AB或甲乙常考的特殊反常积分（读者根据各自需要选学）
?a? 概率积分 ???e???x2dx?? ?? n ??b??函数 ?(n)??xn?1e?xdx ?0? 0 递推公式: ?(n)??n?1??(n?1) 1基本结论： ?(1)?1; ? ?(?)2 ?(n?1)?n!1?3?5??2n-1?1?1??3?1 ?(n?)?n?n?...??? ????2?2??2?22nnn?1?2n?1????1 ?(?n?)???121?3?5??2n-1??(n?)2
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?c?B函数 B?m, n???tn?1?1?t?01m?1dt ?m?0, n?0?
性质： B ?mn,? B=, ?nm?
B?m, n???t01n?1?1?t?m?1?202m?1dt ?2?sin?cosn?2?d???1??0tm?1dt
?1?t?m?n 与?函数的关系：B?m, n????m???n? ??m?n??d?准概率积分 I?n???0I?0???e??xxndx????
1221y??2x?
2??I?n???I?n-2????1; I ? ??12?
?e?玻色积分 I?n???0?xn-135??dx n?2,3,4,,? ?ex?122???xn-1I?n???xdx??xn-1e?x?1?e?x?e?2x?...?dx0e?10???1?n-1?xn-1?kx ???xedx??n?xedx
00kk?1k?1?1 ??n??n?k?1k? 例如试证明： I???0xdx?2? ex?112I???-1?k?0k??01xedx???-1?2kk?0?kxk????0xe?xdx
???-1?k?0?k1?k1?2?-1??????k2k212k?022.4 常用反常积分的敛散判断结论
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或去穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限 ???af?x?dx而言：当f?x??0，f?x?为无穷小，并
ba且无穷小的阶次不能低于尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数 ?f?x?dx而言：当
当x?a?时 f?x?为无穷大，并且无穷大的阶次不能高于尺度，才能保证收敛；这个尺度常常取1。
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以下是简化模型的收敛四种实用判断，请务必在理解的基础上记住。
陈氏第4技 反常积分敛散性判定的模型和基准
??b1?收敛, p?1?收敛, p?1?收敛, p?111dx? bdx? cdx??????????axlnpxaxpxp发散, p?1发散, p?1???发散, p?1?a??a??★比阶法：设f?x?,g?x?在?a, b?上可积，g?x?在?a,???不变号，且lim ●??0且??????f?x???
x???g?x?af?x?dx与?g?x?dx有相同的敛散性
a????aa???? ● ??0 ?g?x??f?x????g?x?dx收敛????af?x?dx收敛 f?x?dx发散
● ??? ?g?x??f?x????g?x?dx发散??陈氏形象记忆法 大收小收；小发大发，同价同敛散。
ag?x?为基准反常积分函数，常常用作基准收敛的反常积分主要有3个：
???a??11dxdx; ; dx， 22??a?1xxlnxx常常用作基准发散的反常积分也有3个
???a??dxdx; ? axxlnx11;? dx ?1x评 注 应用例子：
?1? ?1??4x5?1dx，由于等效的p?6?5?1，故原反常积分发散。
3x6?7x?3xlnxx5?1dx，由于x?????2? ???xlnxx5?11?x?x13x5?1?x43x5?1, p?547???1，根据“大收 236
小收”的原则，故原反常积分发散收敛。
arctanx???3? ?12xx?x?1?limarctanx??。根据“同价同dx，使用比阶法：limx???x???1211xx2?x?11??x2xx2arctanx敛散”的原则，故原反常积分收敛。
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?4? 如果反常积分I????0dx收敛，求p, q的范围。 pq?1?x?ln?1?x???dxdx??I1?I2 ?pqpq01?1?x?ln?1?x??1?x?ln?1?x?1 属于混合反常积分 I??，I1是无界函数的反常积分，只有当q?1，p?1收敛（由于x??0, 1?，故此时p?1?xp?x）
I2是无穷区间的反常积分，只有当p?1，q?0收敛，由于x??0, ?1，而此
q?1?lnq?1?x??lnqx）不影响I2收敛，综合上诉得：p?1，0?q?1 。
三、定积分的计算方法与技巧
1、利用不定积分公式和重要结论 【例41】
2?x?f?x??f??x???dx ??12?x?2?x2?x2?x????x??ln??ln????x?，为奇函数， 解：??x??ln2?x2?x2?x1ln
??x??f?xf??x????x????x??f??x???fx????，为偶函数，
根据对称区间定积分的特点，所以 12?xln?f?x??f??x???dx=0 ??12?x?【例42】 I??
2?0sinx?cosxdx
解：
I?? ??2?02?根据周期函数积分平移公式2sin(x?)dx?????????4
??2sinxdx= 2?sinxdx?22?sinxdx?42??0?
0评 注 一般隐含边界为绝对值时，令绝对值内的函数为零，解出分界点，再分段积分。但对象本题的三角函数积分类，由于在积分区间内分界点超过了2个，不宜使用该法，而利用周期
?函数积分公式。但如果本题积分区间改为I??2sinx?cosxdx，则就可以利用分段积分法了，
04即I??2sinx?cosxdx?????????4?cosx?sinx?dx???2?sinx?cosx?dx?2004?sinx?cosx?0?x?????2?1。
?? 【例43】 I??20dx （??0） ?1?tgx 解：利用
?a01af(x)dx???f(x)?f(a?x)?dx 20132