??1ydx??1?ydx?1y???1??????y??ydx???2??ydx??
?y2??2
??ydx????ydx??y??y??y?y?ce?xy?0??0?c?0x????y?0?y?ex
【例40】设f?x?在?0, ???上可导，f?0??0，其反函数为g?x?，若?x?fx??xg?t?xd?t求f?x?。
解：令t?x?u, dt?du
?x?f?x?xxg?t?x?dt??f?x?0g?u?du?x2e?g?f?x??f??x??2xex?x2ex????g?f?x???x?xf??x??2xex?x2ex?f??x??2ex?xex ?x?0??f?x??2ex?ex?x?1??c
f?0??0?c??1f?x??2ex?ex?x?1??1 x?e2x，
123
第三节 一元函数积分学之三（定积分与反常积分）
一、定积分“三基”内容：
1． 定义：“脑中有模型，结构心理存，两个关键点，定义得分明。”
两个关键点：定积分是结构性的，它是积分和式的极限，而且该极限的结果与区间的分法与各子区间?xi?1, xi?中点?i的取法无关。 模型是： 积分图；
结构是： 极限形式；具体来说：
1）定对象：有限区间?a, b?的有界函数；
2）分区间：将?a, b?分为n个子区间?xi?1, xi??i?1,2,..n?，其中规定：x0?a; xn?b，子区间?xi?1, xi?与分法无关，?a, b?内共有n?1个点， 中间插入n?1个点，其中等分区间只是其中的一种分法；
3）作乘积：在?xi?1, xi?内任意取一点?i，作乘积f??i??xi，其中： ?i与取法无关，?xi?xi?xi?1； 对等分情况：xi?a?nb?a?i, x0?a, xn?b n 4）求和式：S??f??i??xi；
i?1 5）取极限：I?lim?f??i??xi; ??max??xi?; ??0?n??；
??0i?1nI才是f?x? 6）作结论：极限存在，且与区间分法和子区间?xi?1, xi?内点?i的取法无关时，
在闭区间?a, b?上的定积分。
定积分的定义的数学形式：（ 实际使用中?a, b???0, 1?比较常见 ）
?
bai(b?a)??b?a??f(x)dx?lim?f?a??? ?取右端点定义，x0?a??n???n??n??i?1f(x)dx?lim?n???i?0n-1n?
重点应用公式：
bai(b?a)??b?a??f?a??? ?取左端点定义, xn?b??nn????
1 a?0, b?1?lim?n???i?1n
nn?111?i?n?xf???????f(x)dx 或 lim?0n????n?i?0ni?i?1f????f(x)dx ?n?0124
下列重要结论成立：
n?1n?11?i?1?j?i?11?j?1?i?? lim?f??????limf?lim????n????f??n???n????n??n??n?i?1nj?2ni?2nn ?limn1?i?1?1?1?n?1?11?1?1?n?1?f?f?f?f(x)dx?f???f?????????0?n???n?n?n?n??n?n?n?n?n?i?1n
nn?1n?11?i?1?j?i?11?j?1?i?1? lim?f???lim?f???lim?f????f(x)dx????n???n???nn???n?n???i?0n?n?0i?1j?0n1nini?1n? ?f(x)dx?lim0n?????i?1f?x?dx?lim1?i?f???n????n?i?1nn1如： lim?n???i?1nn1155?lim???dx 2220n???ni?0??x?i??i??????????n??n?nb5n?1 2) a?b?limn????0?f?a??0??f(x)dx
i?1a1?b?a?ba?b?limfa?i??????af(x)dx 3) n???n??i?1n nab1?a?b?lim?f?b?i??f(x)d?x?f(x)d??x?????b?an???n??i?1nn1?b?a?1?a?b??lim?f?a?i??limfb?i?????n???n?n???i?1n?n??i?1nnn
??f(x)d??x???f(x)dx??f(x)dx???f(x)dxababbaba
2．重要结论：
① 积分7个常用比较定理：
在[a, b] ?a?f(x)上连续，恒正或恒负或f?x??0；且?f(x)dx?0?f(x)?0
ab在[a, b][?,?]?[a, b]有?f(x)dx?0?f(x)?0 ?b?f(x)上连续，任意子区间
?? ?c?f(x)在[a, b]上连续，f?x??0，且f?x?不恒为零，??f(x)dx?0
ab在[a, b]) ?d?f(x)上连续，f?x??g?x?或f?x??g?x?；且?f(x)dx??g(x)dx?f(x)?g(xaabb 125
?e? 积分保序定理：f(x)在[a, b]上连续，f?x??g?x?或f?x??g?x?，则 ??f?x?dx??g?x?dx 或 ?f?x?dx??g?x?dx
aaaaxxxx ?f?
?baf(x)dx??f(x)dx
ab ?g? 柯西不等式： ② 积分估值定理：
??baf?x?g?x????2?baf2?x????bag2?x?
? m(b?a)??
baf(x)d?xM(?b ) af(x)?[m, M ]③ 积分中值定理（平均值公式）：
?baf(x)dx?f(?)(b?a) ??[a,b ]1b2f?t?dt ?ab?a 函数f?x?在[a, b]上的均方根公式：I?④ 函数在对称区间的积分特点：
?
l?l??0 f(x)为奇函数 ??lf(x)dx??2?f(x)dx f(x)为偶函数 ；
0??1l?f(x)?f(?x)?dx= l?f(x)?f(?x)?dx f(x)非奇非偶?0??2??l1 评 注 ?a?
?1?xdx1?x2?0，因为该积分为广义积分，与定积分定义不符。
?b? F?x??f??x?x ? G?f?? 为常用偶函数；?x???f?x? f为常用奇函数 x??⑤ 周期函数f(x?T)?f(x)的积分特性： ?a?
?a?Taf(x)dx??f(x)dx 0T??a?Tf(x)dx?0f(x)dx?Tf(x)dx?a?Tf(x)dx??a?0?T??a?
TaT?0????f(x)dx??f(x)dx??f(t?T)dt??f(x)dx?000?a? ?b? ?
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a?TTf(x)dx??f(x)dx 0a
例如?a?的应用：
F?x???x?2?xesintsintdt??esintsintdt??esintsintdt0??2?? ??esintsintdt??esintsintdt??000? ??e?sinu??sinu???du???esintsintdt?0?
???esint?e?sint?sintdt?00?⑥ 积分高级技巧：
?a? ?02af?x?dx???f?x??f?2a?x??? 0?a如求
??0?xsinx?2dx?dx?及??01?acosx1?a2 0?a?1等题型。 1?cos2x4?b? ?0a1af(x)dx???f(x)?f(a?x)?dx。
20?c? 用面积法解释?0a1a2?x2dx??a2的积分方法。
41?d?常用奇函数 ??x???t?xdt; ??x??ln?1x?a, ??x??f?x??f??x?， x?a 常用偶函数 ??x??f?x??f??x?
如果f?x?关于x?a轴对称，那么：f?a?x??f?a?x?为偶函数?f?x??f?2a?x?
bb?e? ?af?x?dx??af?a?b?x?dx；
y?f?ba?b?f?x?dx?2?2f?x?dx, 对多元函数积分有类似结论。x?关于轴对称 x??aa2a?b⑦华里士公式：
?(n?1)(n?3)???1????n(n?2)???2?2 n?1为偶数? ?2sinnxdx??2cosnxdx??00?(n?1)(n?3)???2?1 n?1为奇数 ??n(n?2)???3 形象记忆掌握法：奇奇1；偶偶半?。
意思是：当n为奇数时，分母每项也为奇数，分子相应递减，且结论最后一项为1； 当n
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