?dx1?tdt1d?a2t2?1?x2a2?x2 x?1t ?t22??1a2??t2dt????????1???a2t2?1??a2?2a2t2?1
?t?? a2??t2?1a2?C??x2?a2a2x?C5.3 指数或根式换元，如： ax?t?dx?1lna?dtt, x?a?t?dx?2tdt 【例28】 求 I??2xdx1?2x?4x ?2xdx1?2x?4x 2x?t ?t1dt1?t?t2?ln2?t t?1?1dt1dt122ln2???1?23?ln2???arctan?C?1?2?2?t?2???4??t?2?3?ln233????2??2【例29】求 I??dxx?3x 解：令
6x?t?x?t6?dx?6t5dt，才可以同时去掉两个根式。
I=
?6t56t3t3?1?1t3?t2dt??t?1dt?6?t?1dt?6????t2?t?1?1?t?1??dt?2x?33x?66x?6ln?6x?1?
?c5.4 特殊换元 【例30】I???x?a??b?x?dx ?b?a?
解：特殊换元法：令 ???x?a??b?a?sin2t??b?a?cost ??b?x2?dx?2 ?b?a?sintcostdt , t?arcsinx-aa?b
-a, cos2t?1?sin2?2xbt?b?a??x-a?b?asint
??a???b-x???b?a?sintcost?b-x?b?acost?x- 118
I???x?a??b?x?dx ??b?a??sintcost?2 ?b?a?sintcostdt2 ?2?b?a?
??sintcost?2b?a??dt?22?b?a??2sin2tdt?42??1?cos4t?dt
?b?a? ?42?t?sintcostcos2t??c2?b?a? ?4?x-aa?b?2xarcsin??b-ab?a??x?a??b?x???c??6、多级分部积分法
?udv?uv??vdu
多项式u的各阶导数 u u? u?? ? 0
其他函数v的各级积分 ? ?vdx
??vdx ? ?..?.?d x
陈氏口诀 代换变形多项式；逐次微分直到零；其余积分零对齐；交叉相乘正负和。
【例31】 I???x4?2x3?1?e2xdx
x4?2x3?1表格：
4x3?6x2 12xe2e2xI?24x?1224012x2?1x2 12x 12x 12x 12x
eeee81632412x41111e(x?2x3?1)?e2x?4x3?6x2??e2x(12x2?12x)?e2x(24x?12)?e2x?24?0?C2481632
14 ?(x?2x3?3x2?3x?1)e2x?C2读者参照陈氏第4技同步练习： ?(x5?3x2?2x?5)cosxdx
【例32】
22x(arcsinx)dx arcsinx?u sinu?u?cosudu???12usin2udu 2?02u2u表格： 1 1 1
?cos2u?cos2u?sinu2sin2u82421?1211??ucos2u?usin2u?cos2u?C?2?224?? 111??(arcsinx)2(1?2x2)?x1?x2arcsinx?(1?2x2)?C428?
119
7、递推法与倒推法
【例33】 Idxn??(x2?a2)n 递推式一般首先采用分部积分法，?n?1? 解：
Ixx2?a2?a2n?(x2?a2)n?2n?(x2?a)2n?dx1 ?x22dx(x2?a2)n?2nIn?2naIn?2na?(x2?a2)n?1 ?x(x2?a2)n?2nIn?2na2In?2na2In?1
?I??xn?1?12na2?(x2?a2)n?(2n?1)I?n?? I?xn?12(n?1)a2??(x2?a2)n?1?(2n?3)I?n?1?? 可作为公式用。
【例34】 In??secnxdx??secn?2xdtgx
解：
I?2n?secnxtgx??(n?2)secn?3x(secxtgx)tgxdx
?secn?2xtgx?(n?2)?secn?2x(sec2x?1)dx
?secn?2xtgx?(n?2)?secndx?(n?2)?secn?2xdx?secn?2xtgx?(n?2)In?(n?2)In?2?In?1n?1secn?2xtgx?n?2n?1In?2
【例35】 In??tgnxdx??tgn?2x(sec2x?1)dx
解：
In??tgn?2xdtgx??tgn?2xdx ?1tgn?1n?1x?In?2
I1n?1n?n?1tgx?In?22同步练习：
?x2?a2dx?x2x2?a2?a2ln(x?x2?a2)?C
120
【例36】I2??解：
dx
(x2?1)2dxxx2dxx1?x2-1dxI1??2??2???2?22222x?11?x21?x1?x1?x?????x?2I1?2I21?x21x1x1I2??I??arctanx?c12221?x22?1?x?2
7、有理函数的积分可化为整式和如下四种类型积分 ①?②?1dx?lnx?a?C x?a111dx????C n?1 nn?1(x?a)n?1(x?a)2P4q?px??u, ?a2dxdxdu22? ???????③?2n?u2?a2n，再用【例33】方法 22?(x?px?q)n?????P?4q?px??????22??????④
x?a11p?dx?2 4q?p?0 dx???a????22n?1n?(x2?px?q)n2(n?1)(x?px?q)2?(x?px?q)?pppp?a?x?a?x?a22dx?22dx?dx??(x2?px?q)n?(x2?px?q)n?(x2?px?q)n?(x2?px?q)ndxx?1d(x2?px?q)?p?1??2?a?dx???2nn2(x?px?q)?2?(x?px?q)11p?1??a?dx???22n?1n2?1?n?(x?px?q)2?(x?px?q)?
?评 注：上述公式不必记忆，但方法的本质是想办法消除分母的x一次项，再用【例33】的结论。具体问题的求解是这一思想出发的。
8、抽象函数和分段函数的不定积分
?sinx?【例37】 已知f?x?的原函数为??；求I??xf??2x?dx
?x? 121
2xcos2x?sin2x?sinx??xcosx?sinx??f2x? 解：f?x??? ???22xx4x?? I?11xdf2x?????2?2x2f???x1?2?2f?11x?dxcos2-x4x4sin?2 xc
【例38】求 I??max?x3,x2,1?dx
解：此类题的定式做法是：关键是画图得出分段区间，化成分段函数后，再积分。
14?3x; x?1?I?x?c1?4?1?f?x??max?x3,x2,1???x2; x??1?I?x3?c2 ?画图得出分段分支函数?
3??1; x?1?I?x?c3?? 由于分段函数的连续性知：
1?c1?1?c34
1??c2??1?c3332?c; c2???c43?143?4x?4?c; x?1 ?12?I??max?x3,x2,1?dx??x3??c; x??13?3?x?c; x?1??令c?c3?c1? 评 注 对于含有绝对值的函数积分，一般见于定积分题型中，方法是：先令绝对值的项
等于零，画图再确定能去掉绝对值的区间，然后分区段积分，详见定积分部分例题。但也可作不定积分：
112?????x?1?dx???1?x?dx?c????x?1??c 如 I??x?1 dx????0122
x?1?0?x?11x【例39】设y?y?x?满足
1 解：?ydx??dx??1
y1ydx? ??ydx??1，且当x????y?0,y?0??1，求y的表达式。
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