第二节 一元函数积分学之二（不定积分与变限积分的计算）
一、“三基”内容：
1．基本定义与概念
1）不定积分定义：对任一x?区间I，可导函数F?x?的导函数为f?x?，即F??x??fx??；
那么F?x?称为f?x?的原函数。全体原函数的集合F?x??c称为I上的不定积分，记为：
?f?x?dx?F?x??c。连续函数一定存在原函数和具有有限个第二类间断点的非连续函数可能
存在原函数，具有第一类间断点的非连续函数不可能存在原函数。
2）变限积分定义：在原函数存在的条件下，由不定积分定义衍生而来。
??x?x????F??x?F??x?c?f?dx?F?cx ?? ?f?x?d?????????? 由于F?x?是某一个具体函数，由莱布尼茨公式得：
fx?f?x?dx?F?x??F?a?ax?xx??F?x???f?x?dx?F?a????f?x?dx?c????f?x?dx?F?a?? ????a?a???xx?f?x????f?x?dx??f?x????f?t?dt??????a??a? 可见：变限积分可以视为不定积分的某一个原函数。 ● 变限积分的求导方法：
?g?x???a) ?f?t?dt?f?g?x??g??x?a??????g?x??g?x?g?x?????b) ?xf?t?dt?x?f?t?dt?xf?g?x??g?x???f?t?dta????a???a???g2?x?ag2?x?c) ??f?t?dt????f?t?dt??f?t?dt?a????g1?x????g1?x???g1?x?g2?x?????x??f?g1?x??g1??x? ???f?t?dt??f?t?dt?f?g2?x??g2aa?????xt?ub1?bx1???1bx??1??d) ?f?xt?dt???????f?u?du????f?u?du???bfbx?afax????????x2???a??axx??xax?xe)一般复杂情况下使用下列雅可比公式求变限积分的导数较为方便
?bxaxf?u?dud???x?????x??f?x,y?dy?f?x,?fx,ydy, ?x????? ?x??????x??f??x?????x? ?????x?????x?dx??x108
3）重要结论：
1??定义域●离散点不构成区间，但可以构成函数的定义域；如sinx?1????xk??2k???，它的
2??定义域就是离散点，没有定义区间，故没有原函数 （注意：对于一范围?a, b?，如果是区间，则a?b成立，a?b不成立；如果是定义域，则a?b 或 a?b都成立。一切初等函数在它的定义区间必连续，故必有原函数；但在其定义域内就不一定，因为定义域不一定包含区间）。
114113●x 是 x 的原函数；而 x3 不是 的原函数，因为 x?0?无定义, 属于
332243x3x反常积分范畴，一般不定积分或定积分的结论不适合反常积分，因为4个一维积分：不定积分、变限积分、定积分和反常积分是四种类型的积分，不可视为同一积分的不同特殊情形。 ●通常我们约定原函数的存在要认为是二者定义域的公共部分；如?为x?0，?dx1?x2dx?lnx?c，公共部分x ?arcsinx?c的公共部分为??1,1?;而不是??1,1????1,1?是arcsinx的定义域?；2sinx的原函数不是初等函数； x121sinxcosxdx?sinx+c=-cos2x?c2；●原函数不唯一，它们是只差一个常数的函数族，如： 1?24●初等函数的原函数不一定为初等函数，如初等函数e?x,sinx2,●f?x?为连续的奇函数?F?x???f?x?dx为偶函数；
ax f?x?为连续的偶函数?F?x???f?x?dx为基函数。
0x 但不能说f?x?为连续的偶函数，则?f?x?dx为奇函数，因为?f?x?dx?F?x??c，存在常数
c；
f?x?为连续的周期函数??f?x?dx为周期函数的充要条件是；?f?x?dx?0。
a0xT
2．必须记住的18个基本积分公式：
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1k?11x?C (k?1) ?2? ?dx?ln|x|?Ck?1xaxx?3? ?adx??C(a?0,a?1) ?4? ?sinxdx??cosx?C lna?1? ?xkdx??5? ?tanxdx??lncosx?C; ?6? ?ctanxdx?lnsinx?C?7? ?sec2xdx?tanx?C; ?8? ?csc2xdx??ctanx?C?9? ?secxdx?ln|secx?tanx|?C ?10? ?cscxdx?ln|cscx?ctanx|?Cdx1xdxx?arctan?C; 12 ?arcsin?C??22?22x?aaaaa?xdx1a?xdx?C; ?14? ??lnx?x2?a2?C?13? ?22?lna?x2aa?xx2?a2?11? ?x2a22?15? ?x?adx?x?a?lnx?x2?a2?c ?x?x2?a2?0恒成立22x2a2222?16? ?x?adx?x?a?lnx?x2?a2?c ?x?x2?a2?0不恒成立22 x2a2x222?17? ?a?xdx?a?x?arcsin?c22adx1?x1x?18 ??arctan???222??c2?22a??x?a?2a?x?aa22??????
评注 带不定参数的积分要考虑各参数的取值情况，分别讨论，如：?是不全为零的非负数。
dx; a, b2222asinx?bcosx
陈氏积分公式：
证明如下：
?nx?dxa2?x2=1?x?22nlnx?a?x?arcsin??c 2?1?n?a??nx??dxa2?x2x?asin?1cos?d?1?n2?nsin??cos??d?nsin??cos???nsin??cos??d?? n?????nsin??cos?nsin??cos???1?x?22?nlnx?a?x?arcsin??c2?1?n?a?11?n2
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二、积分技巧与方法
评 注 积分计算四大总纲领：
① 利用上述18个积分公式及其逆向思想，把被积函数整体或其部分凑全微分； ② 分部积分；
③ 换元（三角换元、倒换元、指数换元、根式换元和特殊换元见【例27】）。
④ 积分技巧的本质：积分困难主要是由于被积函数存在分母和根号，如何完全或部分去掉这两个东西就是我们开发求解积分技巧的源泉，详见【例9】分析，其余例题类推。 1、利用加减乘除函数及原函数凑微分 【例9】 设f?sin2x??xx，求I??f?x?dx。 sinx1?x解：令 u?sin2x，则x?arcsinu?f?x??I??arcsinx，于是 xarcsinxdx??2?arcsinxd?1x1?x1????2x?dx??? ??2?1?xarcsixn???x11?x?????????2x1dxaxr?csi?nx
??21?xarcsixn?x?2c评 注 此题解到I??arcsinx按照积分总纲领，去掉分母还可以写成： dx的后续计算是关键，
1?xI??arcsinxdx??2?arcsinx?2x?darcsinx往下计算十分困难，不可取。按照积分1?x??总纲领也可以去掉根号，即令1?x?t?x?1?t2?dx??2tdt，从而：
arcsinxarcsin1?t2I??dx?????2?tdt??2?arcsin1?t2dtt1?x?2t?? t???2??1?t21?t??2?tarcsin1?t2??dt???2?tarcsin1?t2??dt?221?t2???2?1?1?t?????? 111
??111????2?tarcsin1?t2??d?1?t2????2?tarcsin1?t2??21?t2??c
21?t22??????2tarcsin1?t2?2?11?t2d?1?t2???21?xarcsinx?2x?c
但计算过程繁琐得多。所以，快速寻找到最佳解法就需要读者多做练习多思考总结。
【例10】 I??lntanxsin2xdx 解：
I??lntaxnsinx2dx??lnxtandx??1xldnttaann 2sinxcosx?co22txanx sx ?12?lntanxd?lntanx??14?lntanx?2?c
【例11】 I??dxx?1?x7? 解一：I??1?x7?x7x?1?x7?dx????1?x?x6?1?x7??dx?lnx?17ln1?x7?c ?7解二：I??x?81d?1?x?171?x?7dx??7?1?x?7??ln1?x?7?c
读者可以验证，两种结果只差一个常数。
【例12】I??sinx1?sinxdx 解：
I??sinx(1?sinx)sinxdxsin2cos2xdx??xcos2x??cos2xdx ???d(cosx)1 cos2x??(1?cos2x)dx?secx?tanx?x?Cx【例13】 I??e?1ex?1dx 解：
I??ex?1e?1?ex?1ex1xdx?e2x?1dx??e2x?1dx??e2x?1dx
?dexe2x?1??de?x?1?e?2x?ln?ex?e2x?1??arcsine?x?c 112