x) 这样便可证明
例题讲解 1. 把
?
因式分解
把两个数项都转为立方：
? 运用立方和可得：
2. 把
?
因式分解
把两个数项都转为立方：
? 运用立方和便可得：
? 但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：
? 亦可使用另一个方法来减省步骤。首先把公因子抽出：
? 直接使用立方和，并得：
立方差
立方差也可以使用立方和来验证，例如：
把两个数项都转为立方数：
运用负正得负，可得：
然后运用立方和，可得：
这个方法更可验证到立方差的公式是
平方差
平方差公式是数学公式的一种，它属于乘法公式、因式分解及恒等式，被普遍使用。平方差指一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式：
及
的排列并不重要，可随意排放。
主验证 平方差可利用因式分解及分配律来验证。先设及。
那即是，同时运用了环的原理。把这公式代入：
若上列公式是
的话，就得到以下公式：
以上运用了
，也即是两方是相等，就得到：
? 注：
塞尔伯格迹公式
在数学中，塞尔伯格迹公式是非交换调和分析的重要定理之一。此公式表达了齐性空间 的函数空间上某类算子的迹数，其中 是李群而 是其离散子群。 塞尔伯格在1956年处理了紧黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。借由拉普拉斯算子及其幂次，塞尔伯格定义了塞尔伯格δ函数。此时的公式相似于解析数论关注的―明确公式‖：黎曼曲面上的测地线在公式中扮演素数在明确公式里的角色。 一般而言，塞尔伯格迹公式联系了负常数曲率紧曲面上的拉普拉斯算子的谱，以及该曲面上的周期测地线长度。对于环面，塞尔伯格迹公式化为泊松求和公式。 定义 设
为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面
对
的某
离散子群 的商。
考虑
上的拉普拉斯算子
由于 值 为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的特征 至多可数
事实上，更可将其由小至大排列：
对应的特征函数 件：
，并满足以下周期条
行变元代换 于是特征值可依
排列。
迹公式 塞尔伯格迹公式写作
和式中的 取遍所有双曲共轭类。所取函数 须满足下述性质：
? ? ?
在带状区域 偶性：满足估计：
。
上为解析函数，在此 为某常数。
，在此 为某常数。
函数 是 的傅里叶变换： 。
后续发展
为了计算赫克算子作用于尖点形式上的迹，出现了 Eichler-塞尔伯格迹公式。志村五郎后来采取的方法省去了迹公式中的分析技巧。抛物上同调也为非紧黎曼曲面与模曲线的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后， 为紧的情形可藉阿蒂亚-辛格指标定理处理，然而，一旦取 为算术子群，便不免要处理非紧的情形。 在1960年代，塞尔伯格迹公式由苏联的盖尔芳特学派、普林斯顿大学的???? ??????、罗伯特·郎兰兹与日本的洼田富男接手推动。非紧情形的连续谱是郎兰兹发展艾森斯坦级数理论的动机之一。拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了赋值向量环之妙用。 亚瑟-塞尔伯格迹公式适用于一般的半单群（或约化群）。此公式的一侧称为谱侧，与群的表示相关；另一侧称为几何侧，与函数之轨道积分相关。群表示通常带有重要的数论信息，而轨道积分则较容易操作。亚瑟-塞尔伯格迹公式是证明郎兰兹函子性猜想的重要进路之一。 泰勒公式
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例[1]。 泰勒公式 泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数ex 在x = 0 的附近可以用以下多项式来近似地表示：
称为指数函数在0处的n 阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x 有用，x 离0 越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。
对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。
这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：
，其中也就是说
。
注意到
和
在a 处的零阶导数和一阶导数，或
是h 的高阶无穷小。 都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a 处的前n 次导数值都