与函数在a 处的前n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a 附近的情况。以下定理说明这是正确的：
定理：
设n 是一个正整数。如果函数f 是区间[a, b] 上的n 阶连续可微函数，并且在区间[a, b) 上n+1 次可导，那么对于[a, b) 上的任意x，都有：
[2]
是泰勒公式的余项，
其中的多项式称为函数在a 处的泰勒展开式，剩余的是
的高阶无穷小。
的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。
带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：
也就是说，当x 无限趋近a 时，余项穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于由下面更强的结论推出。
将会是
[3] 的高阶无。这个结论可以
带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：
即，其中
[4]。
带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]：
余项估计
拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间[a ? r, a + r]上n 次连续可微并且在区间(a ? r, a + r) 上n + 1 次可导。如果存在正实数Mn 使得区间(a ? r, a + r) 里的任意x 都有
，那么：
其中
立，是一个一致估计。
。这个上界估计对区间(a ? r, a + r) 里的任意x 都成
如果当n 趋向于无穷大时，还有，那么可以推出 ，
f 是区间(a ? r, a + r) 上解析函数。f 在区间(a ? r, a + r) 上任一点的值都等于在这一
点的泰勒展开式的极限。
多元泰勒公式 对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a, r ) 是欧几里得空间RN 中的开球，? 是定义在B(a, r ) 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这时的泰勒公式为： 对所有
，
其中的 α 是多重指标。 其中的余项也满足不等式：
对所有满足 |α| = n + 1 的 α，
π的莱布尼茨公式
在数学领域，π的莱布尼茨公式说明
左边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到π ? 4。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：
证明
考虑下面的幂级数
对等式两边积分可得到反正切的幂级数：
将x = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ? 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan?1(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan?1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。 初等证明
考虑如下分解
对于|x| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得：
当
到0：
时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛
当
这便证明了莱布尼茨公式。
乘法公式
乘法公式 1. 分配律：2. 和平方：? 。 。 三数和平方： 3. 差平方：4. 平方差：5. 和立方：6. 差立方：7. 立方和：8. 立方差：9. 。 10. 。 。 。 。 。 。 。 二倍角公式
二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。二倍角公式均可通过和角公式推出。
正弦二倍角公式 此式就是正弦二倍角公式：
余弦二倍角公式
余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：
正切二倍角公式
此式就是正切二倍角公式：
全概率公式
假设{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割，且每个集合Bn是一个可测集合，则对任意事件A有全概率公式：
又因为
此处Pr(A | B)是B发生后A的条件概率，所以全概率公式又可写作：
条件概率的期望值
在离散情况下，上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立：
此处N是任意随机变量。 这个公式还可以表达为：
\A的先验概率等于A的后验概率的先验期望值。