也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。
微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。 使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。
另一种形式
通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换：
流形上的斯托克斯公式
令?M?为一个可定向分段光滑?n?维流形，令?ω?为?M?上的?n?1?阶?C1?类紧支撑微分形式。如果??M?表示?M?的边界，并以?M?的方向诱导的方向为边界的方向，则
这里?dω?是?ω?的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、?3?上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。 该定理经常用于?M?是嵌入到某个定义了?ω?的更大的流形中的子流形的情形。 定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。 斯特灵公式
斯特灵公式是一条用来取n阶乘近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特灵公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特灵公式的取值已经十分准确。 公式为：
这就是说，对于足够大的整数n，这两个数互为近似值。更加精确地：
或
历史
这个公式是亚伯拉罕·棣莫弗首先发现的，形式为： 常数 ×
。更加精确的形式是雅克·比内发现的。
斯特灵证明了公式中的常数为
推导 这个公式，以及误差的估计，可以推导如下。我们不直接估计n!，而是考虑它的自然对数：
这个方程的右面是积分法则），而它的误差由欧拉-麦克劳林公式给出： 的近似值（利用梯形其中Bk是伯努利数，Rm,n是欧拉-麦克劳林公式中的余项。取极限，可得：
我们把这个极限记为y。由于欧拉-麦克劳林公式中的余项Rm,n满足：
其中我们用到了大O符号，与以上的方程结合，便得出对数形式的近似公式：
两边取指数，并选择任何正整数m，我们便得到了一个含有未知数ey的公式。当m=1时，公式为：
将上述表达式代入沃利斯乘积公式，并令n趋于无穷，便可以得出ey（
）。因此，我们便得出斯特灵公式：
这个公式也可以反复使用分部积分法来得出，首项可以通过最速下降法得到。把以下的和
用积分近似代替，可以得出不含应用中无关）：
的因子的斯特灵公式（这个因子通常在实际
收敛速率和误差估计
y轴表示截断的斯特灵级数的相对误差，x轴表示所使用的项数。
更加精确的近似公式为：
其中：
斯特灵公式实际上是以下级数（现在称为斯特灵级数）的第一个近似值：
当时，截断级数的误差等于第一个省略掉的项。这是渐近展开式的一个
例子。它不是一个收敛级数；对于任何特殊值n，级数的准确性只在取有限个项时达到最大，如果再取更多的项，则准确性将变得越来越差。
阶乘的对数的渐近展开式也称为斯特灵级数：
在这种情况下，级数的误差总是与第一个省略掉的项同号，且最多同大小。
伽玛函数的斯特灵公式
对于所有正整数，有：
然而，伽玛函数与阶乘不一样，它对于所有复数都有定义。尽管如此，斯特灵公式仍然适用。如果
，那么：
反复使用分部积分法，可得以下渐近展开式：
其中Bn是第n个伯努利数。当
，其中ε是正数时，这
个公式对于绝对值足够大的z是适用的，当使用了最初m个项时，误差项为
。对应的近似值可以写为：
斯特灵公式的收敛形式
欲得出斯特灵公式的一个收敛形式，我们必须计算：
一种方法是利用含有上升阶乘幂的级数。如果
，那么：
其中：
从中可以得出斯特灵级数的一个收敛形式：
它在时收敛。
适用于计算器的形式 以下的近似值
或